3.3. Теоремы а. М. Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению

Когда известно общее решение дифференциальных уравнений движения (3.2.1), можно непосредственно определить значения переменных y_i(t) в возмущённом движении, составить вариации x_i = y_i(t) - y_i^*(t) и, исследуя их, решить вопрос об устойчивости невозмущённого движения y_i^*(t).

Однако, как правило, исследование устойчивости движения производят не путём анализа общего решения, а с помощью методов, основанных на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущённого движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) x_i.

Чтобы вывести уравнения возмущённого движения, найдём их переменные y_i(t) = y_i^*(t) + x_i(t) и подставим эти значения y_i(t) в дифференциальные уравнения движения (3.2.1). Тогда

dy_i^*(t)/dt  +  dx_i(t)/dt  =  Y_i(y₁^* + x₁, y₂^* + x₂, ..., y_n^*  + x_n, t). (3.3.1)

Если правые части уравнения (3.3.1) допускают разложение в степенные ряды Тейлора, то после этого разложения по степеням x_i получим:

dy_i^*(t)/dt + dx_i(t)/dt = Y_i(y₁^*,y₂^*,...,y_n^*,t) + (Y_i/x₁)_ox₁ + ...

... + (Y_i/x_n)_ox_n + R_i(x₁,x₂,...,x_n), (3.3.2)

где R_i(x₁, x₂, ..., x_n) - совокупность членов, зависящих от отклонений x_i в степени выше первой.

Учитывая (3.2.5), имеем:

dx_i(t)/dt  =  a_i1x₁  +  a_i2x₂ + ... + a_inx_n + R_i(x₁, x₂, ..., x_n). (3.3.3)

В уравнениях (3.3.3) коэффициенты

(3.3.4)

в общем случае являются функциями времени t; в частности, они могут быть постоянными. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будем считать коэффициенты a_ik постоянными.

Уравнения (3.3.3) называют дифференциальными уравнениями возмущённого движения.

Если отклонения x_i достаточно малы, то пренебрегая R_i(x₁, x₂, ..., x_n), получим линеаризованные уравнения

dx_i/dt  =  a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n (i  =  1, 2, ..., n), (3.3.5)

называемые уравнениями первого приближения.

Во многих случаях устойчивость движения исследуют по уравнениям первого приближения. Это объясняется простотой этого метода и тем, что часто наши знания процессов, происходящих в реальных системах, позволяют надёжно определить только первые линейные члены. Однако уравнения первого приближения могут дать иногда совершенно неверное заключение об устойчивости движения. Поэтому, естественно, определяют условия, при выполнении которых уравнения первого приближения дают правильные ответы об устойчивости движения.

Системе уравнений (3.3.5) соответствует характеристическое уравнение, которое можно записать следующим образом:

(3.3.6)

Из (3.3.6) можно найти его корни _i, где i  =  1, 2, ..., n, которые в общем случае имеют вид _i  =  _i j_i , где _i и _i - вещественные и мнимые части корней соответственно.

Для исследования устойчивости систем по их линеаризованным уравнениям принципиально важны следующие теоремы А. М. Ляпунова:

Теорема 1. Если вещественные части всех корней _i характеристического уравнения (3.3.6) первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если среди корней _i характеристического уравнения (3.3.6) первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущённое движение неустойчиво.

Если среди корней характеристического уравнения имеется один или несколько нулевых корней, а вещественные части остальных корней отрицательны, то этот случай называется критическим. В критическом случае устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения не может быть оценена по уравнениям первого приближения, так как она зависит от вида нелинейной функции R_i(x₁,x₂,...,x_n), и поэтому в этом случае требуется рассмотрение дифференциальных уравнений возмущенного движения (3.3.3) в их исходном виде.

Теоремы Ляпунова позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого приближения).