5.1.3. Нечёткие множества

Профессор Калифорнийского университета Заде опубликовал в 1985 г. в журнале "Информация и управление" статью "Нечёткие множества", в которой он расширил двузначную оценку 0 или 1 до неограниченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1 в [0, 1] и впервые ввел понятие "нечёткого множества". Фигурные скобки { } используются для обозначения множества, а квадратные [ ] и круглые скобки ( ) соответственно для обозначения замкнутого и открытого интервала действительных чисел. Например:

[0, 1] = {x0 x  1},

(0, 1) = {x0 < x < 1}, (5.1.14)

[0, 1) = {x0 x < 1}.

Также Заде вместо термина "характеристическая функция" использовал термин "функция принадлежности". Нечёткое множество А в полном пространстве Х определяется через функцию принадлежности m_A(x) следующим образом:

m_A:X  [0, 1]

  (5.1.15)

x  m_A(x).

Чаще всего нечёткое множество определяют следующим образом: "величина m_A(x) обозначает субъективную оценку степени принадлежности х множеству А, например m_A(x) = 0,8 означает, что х на 80% принадлежит А". Следовательно, существует "функция принадлежности специалиста х". В случае графического представления диаграмму Венна часто заменяют концентрическими окружностями, как на рис. 5.7, а. Кроме того, в случае функционального представления используют колоколообразную (или другой формы) функцию принадлежности (рис. 5.7 б).

Обратим внимание на связь чёткого и нечёткого множеств. Два значения {0, 1} принадлежат замкнутому интервалу [0, 1]. Следовательно, чёткое множество является частным случаем нечёткого множества, а понятие нечёткого множества является расширенным понятием, охватывающим и понятие чёткого множества.

Рисунок 5.7. Графическое представление нечёткого множества

Нечёткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности. Дело в том, что нечёткое множество строго определяется с помощью оценочных значений [0, 1] в Х, а это и есть функция принадлежности. В случае когда пространство Х ограничено, эти значения указывают из чисто практических соображений, например, в одном из методов указания функции принадлежности используются знаки разделителя / и ИЛИ и +. Например, пусть Х - множество целых чисел, меньших 10, определенное формулой Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, тогда нечёткое множество А "маленьких чисел" можно обозначить в виде

А = 1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4.

Здесь, например, 0,8/2 означает m_A(2) = 0,8. При этом опускают члены со значениями функции принадлежности, равными 0.

Можно рассматривать различные операции над нечёткими множествами по аналогии с чёткими множествами. Наиболее распространённые определения отношения вложения, дополнительного нечёткого множества, произведения нечётких множеств и суммы нечётких множеств обычно записываются в следующем виде:

A  B  m_A(x)  m_B(x) для  x  X,

m_Ac(x)  =  1 – m_A(x) для  x  X,

m_AB(x)  =  m_A(x)  m_B(x) для  x  X, (5.1.16)

m_AB(x)  =  m_A(x) V m_B(x) для  x  X,

Графически с помощью колоколообразной функции принадлежности эти понятия изображены на рис. 5.8. Если обозначить через R(X) совокупность всех нечётких множеств в Х, то система (R(x), , ^.c, , ), очевидно, не образует булеву алгебру. Однако для операции  справедливы рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. Легко доказать также законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, двойного отрицания и 

Рисунок 5.8. Основные операции над нечёткими множествами

закон де Моргана. Но не выполняется закон комплементарности, т. е. в случае нечёткого множества выполняются соотношения

A  A^c  , A  A^c  X, (5.1.17)

причем равенство не удовлетворяется, что видно из рис. 5.9. Однако все другие законы выполняются, и система (R(x), , ^.c, , ) образует так называемую полную псевдобулеву алгебру.

Рисунок 5.9 Рисунок 5.10

Существует мнение, что не обязательно использовать числовые оценки. Предложено понятие нечёткого множества, определенного на лингвистических переменных (рис. 5.10). По сути, оценки как результат мышления человека - это слова (например: "осталось какая-то неудовлетворенность, но в целом всё нормально") и не так просто выразить оценку в числовом виде. Но почему бы не использовать такую словесную оценку непосредственно? Этот метод полезен для представления и приобретения значений при построении экспертных систем и при введении значений экспертов в базы данных.