5. Прикладные нечёткие системы

5.1. Теория нечётких множеств

5.1.1. Чёткие множества

Логику, которая имеет дело с 0 и 1, будем называть чёткой логикой, а обычные множества на их основе - чёткими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечёткую логику и нечёткие множества.

Введем обозначение X = {x}. Фигурные скобки означают совокупность объектов. Совокупность Х - это предметная область, полное пространство или вспомогательное множество, x - отдельные структурные элементы. Тот факт, что х является элементом Х, обозначим следующим образом: х Х.

В полном пространстве Х определим чёткое множество. В качестве названий множеств использует прописные буквы А, В, С... Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (5.1.1)

тогда множество чётных цифр А равно

А = {0, 2, 4, 6, 8}. (5.1.2)

Число структурных элементов назовём мощностью множества или координатным числом и обозначим #. Имеем #X = 10, #A = 5.

Имеется ещё одна форма записи А = {xx - чётное число больше 0 и меньше 9}. Кроме того, для обозначения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 5.1).

Рисунок 5.1

Помимо указанных способов определение понятия чёткого множества возможно с помощью характеристической функции. Характеристическая функция _А, определяющая множество А в полном пространстве Х, представляет собой отображение, для которого Х есть область определения, а {0, 1} (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

_А:Х{0,1}

  0, x  A, (5.1.3)

x_А(x) = 

1, x  A.

При этом _А(х) = 1, если элемент х удовлетворяет свойствам А, и 0, если отложить Х на горизонтальной, а {0, 1} на вертикальной оси, то получим графическое представление (рис. 5.2).

Рисунок 5.2

В полном пространстве Х можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех таких множеств называется степенным множеством и обозначается как 2^Х. Например, пусть Х = {a, b, c}, тогда степенное множество есть 2^Х = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, Х}.

Рисунок 5.3

Рассмотрим некоторые операции над множествами (рис. 5.3). Отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В и обозначается как А  В (А  В справедливо при А = В; если А  В, но А  В, то А называется собственным подмножеством В). Если определить А  В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

_А(х)  _B(x)    для   х  Х.

Для отношения вложения множеств  можно доказать справедливость трёх свойств:

1) рефлексивность  А  2^Х, А  А;

2) антисимметричность  А, В  2^Х,А  В, В  А А = В;

3) транзитивность  А, В, С  2^Х, А  В, В  С А  С.

Есть операции дополнения множества А^с, пересечения множеств А и В (А  В) и объединения множеств А  В. Графически их можно пояснить с помощью диаграмм Венна (рис. 5.3). С помощью характеристических функций операции можно определить следующим способом:

_Ас(x) = 1 - _А(х) для х  Х,

_АB (x) = _A(х)  _B(х) для х  Х, (5.1.4)

_АB (x) = _A(х) V _B(х) для х  Х.

Здесь  и V называются операциями взятия минимума и максимума, т. е. взятия наименьшего и наибольшего значений.

Для операций над множествами справедливы свойства:

1) закон идемпотенции А  А = А, А  А = А;

2) закон коммутативности А  В = В  А, А  В = В  А;

3) закон ассоциативности А  (В  С) = (А  В)  С,

А  (В  С) = (А  В)  С;

4) закон абсорбции А  (А  В) = А  (А  В) = А;

5) закон дистрибутивности А  (B  C) = (А  В)  (А  С),

А  (В  С) = (А  В)  (А  С);

6) закон комплементарности А  А^с = , А  А^с = Х.

(2^Х,) образует частично упорядоченное множество, в общем случае удовлетворяющее четырем свойствам (идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и абсорбции), называется это множество решёткой; решётка, удовлетворяющая закону дистрибутивности, - дистрибутивная решётка, а дистрибутивная решётка, удовлетворяющая закону комплементарности называется комплементарной дистрибутивной решёткой, она, в свою очередь, известна как булева решётка или булева алгебра.

Отметим два важных свойства, справедливых в булевой алгебре:

1) двойное отрицание А^cc = А,

2) закон де Моргана (А  В)^с = А^с  В^с, (А  В)^с = А^с  В^с.