3.6. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента.

Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента системы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Михайлова.

Частотный критерий устойчивости, разработанный Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

В инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости систем автоматического управления, основанный на применении логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Это обусловлено тем, что построение частотных логарифмических характеристик разомкнутых систем, особенно асимптотических логарифмических частотных характеристик, значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.

4. Преобразовательные элементы

Корректирующие устройства систем регулирования по отклонению осуществляют преобразование сигнала управления. С этой целью их составляют из элементов, которые удобно называть преобразовательными. В системах комбинированного регулирования основной частью до­полнительных цепей (компенсирующей и форсирующей) также явля­ются преобразовательные элементы. Используются электрические, механические, гидравлические, пневматические и иные преобразова­тельные элементы, но наиболее широкое применение нашли электри­ческие элементы. Рассмотрим основные из них.

4.1. Пассивные четырехполюсники постоянного тока

Это электри­ческие цепи из сопротивлений, конденсаторов и индуктивностей. Общая схема пассивного четырехполюсника показана на рис. 4.1.

Здесь u₁ и u₂  соответственно входное и выходное напряжения пос­тоянного тока; Z₁ = R₁ + 1/C₁s + L₁s и Z₂ = R₂ + 1/С₂s + L₂s  импедансы четырехполюсника; R_i, С_i и L_i  соответственно актив­ные сопротивления, ёмкости и индуктивности; Z_н  импеданс на­грузки.

Если напряжение u₂ приложено к нагрузке с бесконечно большим импедансом Z_н, то передаточная функция пассивного четырехполюсника равна:

W_п = Z₂/(Z₁ + Z₂). (4.4.1 )

Рисунок 4.1

Пассивные четырехполюсники постоянного тока обладают существенными достоинствами. Варьируя вид импедансов Z₁ и Z₂ и значения R_i, С_i и L_i, можно получить неограниченное количество различных четырехполюсников, различных передаточных функций W_п. Стои­мость пассивных четырехполюсников низкая, а стабильность парамет­ров достаточно высокая. Этими достоинствами объясняется весьма широкое использование пассивных четырехполюсников в системах автоматического регулирования, у которых сигналом управления яв­ляется напряжение постоянного тока.

Основной недостаток пассивных четырехполюсников в том, что они ослабляют сигнал. Кроме того, при конечном значении импеданса Z_н нагрузки преобразование сигнала отклоняется от желаемого, соот­ветствующего виду передаточной функции W_п, составленной по (4.4.1). Если импеданс Z_н сопоставим с Z₂, то передаточная функция W_п четы­рехполюсника должна составляться с учетом Z_н. Однако в этом случае уже труднее получить передаточную функцию желаемого вида.

Наиболее характерные схемы пассивных четырехполюсников постоянного тока приведены в табл. 4.1. Там же даны выражения их передаточных функций и показаны логарифмические частотные характеристики.

Принято разделять четырехполюсники на дифференцирующие, интегрирующие и интегро-дифференцирующие. Дифференцирующие четырехполюсники (схемы 1, 2 в табл. 4.1) в определенном диапазоне частот дифференцируют сигнал и создают положительный сдвиг по фазе. Интегрирующие четырехполюсники (схемы 3, 4 в табл. 4.1) в некотором диапазоне частот обеспечивают интегрирование сигнала, создают отрицательный сдвиг по фазе. Интегро-дифференцирующие четырехполюсники (схема 5 в табл. 4.1) в одном диапазоне частот диф­ференцируют сигнал, а в другом диапазоне его интегрируют.

Иногда оказывается целесообразным или необходимым соединить два пассивных четырехполюсника последовательно (рис. 4.1, а). Передаточную функцию такого соединения можно определять по фор­муле

W_э = W_п1W_п2 (4.4.2)

только при условии, что сумма импедансов Z₁₂ + Z₂₂ второго четы­рехполюсника значительно, по крайней мере на порядок, больше импеданса Z₂₁ первого четырехполюсника.

Таблица 4.1

№	Электрическая схема	Л огарифмические частотные характеристики	Передаточная функция
1			, где T = RC
2			, где ; T = R1C; L1 = 20lgk
3		-20 дБ/дек	, где T = RC
4			, где T1 = (R1 + R2)C; T2 = R2C;
5			, где Т1 = R1C1; T2 = R2C2; T1>T2; <1; L1 = 20lg

а

б

Рисунок 4.2

Чаще пассивные четырёхполюс­ники соединяют последовательно через разделительный усилитель (рис. 4.2, б). Если входное сопротивление усилителя не влияет на передаточную функцию W_п1 первого четырёхполюс­ника, то передаточная функция со­единения выглядит следующим образом:

W_э = W_п1k_yW_п2 , (4.4.3)

где k_y  передаточный коэффициент усилителя.

Преимущество второй схемы ещё и в том, что разделительный уси­литель компенсирует понижение уровня сигнала, вызываемое пас­сивными четырёхполюсниками.