2.9. Сар напряжения генератора постоянного тока. Математическое описание

Рассмотрим в качестве примера вывод дифференциальных уравнений и передаточных функций системы автоматического регулирования (САР) напряжения генератора постоянного тока (рис. 2.25, а), блок схема которого приведена на рис. 2.25, б.

Она состоит из электронного усилителя У, двигателя постоянного тока с независимым возбуждением Д, являющегося исполнительным элементом генератора Г (объекта регулирования) и делителя напряжения ДН, выходное напряжение которого u_д в сравнивающем устройстве вычитается из заданного u_o. Определим сначала дифференциальные уравнения и передаточные функции отдельных элементов, входящих в рассматриваемую систему. Начнём с объекта регулирования.

а б

Рисунок 2.25

Генератор

Уравнение генератора производится путём изменения переменного сопротивления R_п, включённого в цепь возбуждения (рис. 2.26).

Рисунок 2.26

Обозначив через R_п.н. его номинальное значение, т. е. значение R_п, при котором ток i_в в цепи возбуждения принимает номинальное значение i_в.н., можно записать

R_п  =  R_п.н.  +  R.

Отклонение R переменного сопротивления пропорционально углу  поворота вала двигателя

R  =  - c₁ (2.9.1)

Здесь c₁ - положительная постоянная, знак минус указывает, что при повороте вала двигателя в положительном направлении сопротивление R_п уменьшается, в отрицательном - увеличивается. Таким образом, входной (управляющей) величиной генератора является угол , а выходной - падение напряжения u_г на нагрузке.

Составим уравнение динамики генератора без учёта влияния гистерезиса, вихревых токов и т. п. На рис. 2.27 приведена эквивалентная электрическая схема генератора. На ней r_в и L_в - активное и индуктивное сопротивления обмотки возбуждения, e_г - э.д.с. генератора, r_я - активное сопротивление обмотки якоря (его индуктивным сопротивлением пренебрегаем), R_н - сопротивление нагрузки (нагрузка предполагается активной). Э.д.с. генератора связана с током возбуждения нелинейной зависимостью

e_г  =  F( i_в ), (2.9.2)

Рисунок 2.27

примерный график которой приведён на рис. 2.28. Дополнительное сопротивление R_д, выбирается таким, что током через него по сравнению

Рисунок 2.28

с током нагрузки можно пренебречь. С учётом сказанного можно записать:

для цепи возбуждения

u_в  =  ( r_в  +  R_п.н.  +  R) i_в  +  L_в di_в / dt, (2.9.3)

для якорной цепи:

e_r  =  (r_я  +  R_н) i_я , u_г  =  R_н i_я . (2.9.4)

В статическом режиме при номинальных значениях токов возбуждения i_в.н. и якоря i_я.н. эти уравнения принимают вид:

u_в.н.  =  ( r_в  +  R_п.н.) i_в.н. , (2.9.5)

e_г.н.  =  ( r_я  +  R_н.н.) i_я.н. , u_г.н.  =  R_н.н. i_я.н. (2.9.6)

Произведём линеаризация в рабочей точке, соответствующей номинальным значениям токов возбуждения и якоря. Подставим в (2.9.3) i_в =  i_в.н. +  i_в и выражение (2.9.1). Отбрасывая малый член c₁i_в более высокого порядка, чем i_в и , и учитывая (2.9.5), получим

,

или в символической форме

(T_в p + 1)i_в  = k₁ , (2.9.7)

где

T_в = L_в/(r_в + R_н.н) , k₁ =  c₁i_вн/(r_в +  R_н.н)

Произведя линеаризацию (2.9.2), получим

e_г = e_г.н + с₂i_в (2.9.8)

где

Используя это выражение для e_г и уравнение статики (2.9.6), уравнение (2.9.4) можно преобразовать к виду

с₂i_в = (r_я/R_н.н + 1)u_г - r_яR_нi_я/R_н.н. (2.9.9)

Исключив из (2.9.7) и (2.9.9) i_в, окончательно получим одно уравнение, связывающее входную (управляющую)  и выходную u_г величины и возмущение f  =  r_я i_я генератора,

(T_вp + 1) u_г = k_г1 + k_г2(T_вp + 1)f , (2.9.10)

где k_г1 =  k₁c₁/( r_я/ R_н.н + 1) , k_г2 =  r_я/( r_я +  R_н.н) .

В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид

(T_вs + 1)U_г(s) = k_г1Ф(s) + k_г2(T_вs + 1)F(s)

где U_г(s) = Lu_г, Ф(s) = L, F(s) = L f .

К генератору приложены два внешних воздействия ( и f), и он описывается двумя передаточными функциями: передаточной функцией W_ по управляющему воздействию и передаточной функцией W_f по возмущению. Для них имеем:

в операторной форме

W_(p) =  k_г1/(T_вp + 1) , W_f(p) =  k_г2 ,

и в изображениях Лапласа

W_(s) =  k_г1/(T_вs + 1) , W_f(s) =  k_г2 .

На рис. 2.29 изображена структурная схема генератора.

Рисунок 2.29

Математическая модель генератора представляет собой по возмущению - пропорциональное звено, а по управляющему воздействию - апериодическое звено первого порядка.

Двигатель.

Принципиальная схема двигателя с независимым возбуждением приведена на рис. 2.30 а. При управлении со стороны якорной цепи напряжение

Рисунок 2.30

возбуждения u = const. На рис. 2.30, б приведена эквивалентная электрическая схема цепи якоря, где r_я и L_я - активное и индуктивное сопротивление обмотки якоря, i_я^ - ток якоря, e_д - э.д.с., наводимая в обмотке якоря при его вращении. Здесь делаем такие же упрощающие предположения, что и при выводе уравнения генератора.

Запишем уравнение для цепи якоря

. (11)

Э.д.с. e_д пропорциональна угловой скорости вала двигателя e_д  =  с₃d/dt. Значение постоянной с₃ зависит от тока возбуждения и конструкции двигателя. Уравнение (11) с учётом последнего уравнения можно преобразовать к виду

,

или

(2.9.12)

где T_я  =  L_я/r_я - электрическая постоянная времени цепи якоря.

На основе законов механики можно записать уравнение для моментов

или

Ip²  =  M_вр - M_с, (2.9.13)

где J - момент инерции вала двигателя (с учётом нагрузки); М_вр - вращающий момент; М_с - момент сопротивления.

Вращающий момент пропорционален току якоря

M_вр  = с₄i_я . (2.9.14)

Значение постоянной с₄, как и c₃, зависит от тока возбуждения и конструкции двигателя.

Исключив из (2.9.12), (2.9.13) и (2.9.14) момент M_вр и ток i_я , получим:

Это уравнение можно преобразовать к виду

(T_яT_эмp² + T_эмp + 1)p = k_Д1u_у-k_Д2(T_яp + 1)M_c , (2.9.15)

где T_эм = Jr_я/c₃c₄ - электромеханическая постоянная времени;

k_Д1 = c₃ и k_Д2 =  r_я/c₃c₄ - передаточные коэффициенты.

В изображениях Лапласа уравнение двигателя принимает вид:

(T_яT_эмs² + T_эмs + 1)sФ(s) = k_Д1U_у(s)-k_Д2(T_яs + 1)M_c(s) , (2.9.16)

где U_у(s) = Lu_у, M_c(s) =  LM_c .

Передаточные функции двигателя имеют вид:

по управляющему воздействию

,

по возмущению (моменту сопротивления М_с)

,

Структурная схема приведена на рис. 2.31, откуда видно, что математическая

Рисунок 2.31

модель двигателя может быть представлена: по возмущению - в виде последовательного соединения форсирующего, колебательного (или двух апериодических, если ) и интегрирующего звеньев, а по управляющему воздействию - колебательного (или двух апериодических, если ) и интегрирующего звеньев.

Усилитель, сравнивающее звено, делитель напряжения

Эти элементы описываются уравнениями

u_у  =  k_у,   =  u_о - u_д, u_д  =  k_дu_г , (2.9.17)

где k_у - коэффициент усиления усилителя; k_д - “коэффициент деления” делителя.

Линеаризованное уравнение генератора связывает отклонение u_г с внешними воздействиями  и f. Поэтому необходимо преобразовать систему уравнений (2.9.17) так, чтобы она зависела от отклонения u_г (а не от u_г).

Запишем последние два уравнения системы (2.9.17) следующим образом:

 =  u_он + u_о( u_дн + u_д), u_дн  + u_д  =  k_д (u_г.н. +   u_г), ( 2.9.18)

где u_oн, u_дн - номинальные значения задающего воздействия и напряжения делителя, определяемые равенствами

u_дн  =  k_д u_г.н., u_oн  =  u_дн . (2.9.19)

Уравнения (2.9.18) и (2.9.19) можно записать так:

u_д  =  k_д u_г,   =  u_о - u_д .

В изображениях Лапласа уравнения усилителя, сравнивающего устройства и делителя напряжения принимают соответственно вид:

U_y(s) = k_yE(s), E(s) = U_o(s) U_д(s), U_д(s) =  k_дU_г(s) ,

где E(s) = L, U_o(s) = Lu₀, U_д(s) =  Lu_д.

Передаточные функции усилителя W_у и делителя W_д имеют вид:

W_у(p)  =  W_у(s)  =  k_у, W_д(p)  =  W_д(s)  =  k_д.

Эти звенья являются пропорциональными. Сравнивающее звено имеет два входа и описывается двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входу, куда подаётся уменьшаемое

W_c1(p)  =  W_c1(s)  =  1 ,

и передаточной функцией по входу, куда подаётся вычитаемое

W_c2(p)  =  W_c2(s)  =  -1.

Уравнение и передаточные функции системы

На рис. 2.32 приведена структурная схема САР напряжения генератора,

Рисунок 2.32

составленная по полученным уравнениям и передаточным функциям отдельных элементов. Используя правило нахождения передаточной функции одноконтурных систем, определим её передаточные функции.

Передаточная функция разомкнутой системы

,

где k = k_уk_д1k_г1k_д - передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Передаточные функции прямой цепи:

по задающему воздействию (u_о) W_п.u = W/k_д;

по моменту сопротивления (M_c)

;

по возмущению (f )

W_Пf = k_Г2.

Для передаточных функций замкнутой системы (относительно выхода u_г) имеем: по задающему воздействию u₀

,

где

k_u = k/k_д, a₀ = T_яT_эмT_в, a₁ = (T_я + T_в)T_эм, a₂ = T_эм + T_в, a₃ = 1, a₄ = k;

по моменту сопротивления M_c

,

где b₀ =  k_д2k_г1T_я, b₁ =  k_д2k_г1;

по возмущению f

.

Уравнение системы в символической форме имеет вид:

u_г = W_uuu₀ + W_uмM_c + W_uff,

или

(a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p + a₄)u_г = k_uu₀-(b₀p + b₁)M_c+k_г2(a₀p⁴ + a₁p³ + a₂p² + a₃p)f .