2.6.3. Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением y = kpu , или передаточной функцией W(s) = ks.

Частотные и временные функции имеют вид

W(j) = jk, U() = 0, V() = k, A() = k, () = /2,

L() = 20lgk + 20lg, h(t) = (t), (t) = '(t)

АФЧХ (рис. 2.6, а) совпадает с положительной полуосью. ЛФЧХ (рис. 2.6, б) параллельна оси частот и проходит на уровне  = /2: сдвиг фазы не зависит от частоты и равен /2.

ЛАЧХ есть прямая, проходящая через точку с координатами  = 1 и L() = 20lgk имеющая наклон 20дБ/дек: L() увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.

а б

Рисунок 2.6

2.6.4. Апериодическое звено

Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

(Tp + 1)y = ku

или передаточной функцией

W(s) = k/(Ts + 1)

Это звено также называют инерционным звеном первого порядка или инерционным звеном. Апериодическое звено в отличие от выше рассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k.

Частотная передаточная функция

W(j) = k/(Tj + 1).

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим

U() = k/[(T)² + 1], V() = kT/[(T)² + 1].

Амплитудные и фазовые частотные функции можно определить, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.

Так как модуль числителя частотной передаточной функции W(j) равен k, а модуль знаменателя , то

A() = k /

Аргумент числителя W(j) равен нулю, а аргумент знаменателя arctgT. Поэтому

()  =  arg W(j)  =  arctg T

из выражения для А() имеем

L()  =  20 lg A()  =  20 lg k20 lg

Решив дифференциальное уравнение (Тр + 1)y = ku при u = 1(t) и нулевом начальном условии (x(0) = 0), получим h(t) = k(1e^t/T). Весовая функция

(t) = h'(t) = (k/T) e^t/T

АФЧХ апериодического звена (рис. 2.7, а) есть полуокружность, в чём нетрудно убедиться, исключив из параметрических уравнений U( и V() АФЧХ частоту.

а б в

Рисунок 2.7

ЛАЧХ представлена на рис. 2.7, б. На практике обычно ограничиваются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (по ломаной линии рис. 2.7, б). Только в крайних случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на выводы, рассматривают точную ЛАЧХ.

Частоту ₁ = 1/T, при которой пересекаются асимптоты, называют сопрягающей частотой. Точная и асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличается при сопрягающей частоте. Отклонение при сопрягающей частоте примерно равно 3дБ.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

Согласно этому уравнению асимптотическую ЛАЧХ строят так: на уровне L() = 20lgk до частоты  = ₁ провести прямую, параллельную оси частот, а далее через точку с координатами  = ₁ и L() = 20lgk - прямую под наклоном 20дБ/дек.

По АФЧХ и ЛАЧХ легко определить параметры Т и k апериодического звена.

ЛФЧХ изображена на рис. 2.7, б. Эта характеристика асимптотически стремится к нулю при   и /2 при  . При  = ₁ фазовая частотная функция принимает значение /4: (₁) = /4. ЛАЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо одной характеристике параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени Т. Поэтому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно воспользоваться шаблоном или номограммой.

Переходная характеристика апериодического звена (рис. 2.7, в) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней можно определить параметры: передаточный коэффициент, равный установившемуся значению h(); постоянную времени, равную значению t, соответствующему точке пересечения касательной к характеристике в начале координат с её асимптотой (рис. 2.7, в).