
1.6.2. Уравнения на множествах
1. В каком отношении по включению находятся множества А. В, С, если выполняются равенства (a - j)? Постройте решение аналитически и изобразите его в виде кругов Эйлера.
A ((~B ~C) (B C)) ~A ((B ~C) (~B C))=.
(A B) C= A (B C).
А ~В = С В.
А ~В = C В.
(А В) C = A ~В.
(А В) ~C = A ~В.
(А ~В) C = ~A В.
(А В) C = A В C.
(~А В) C = (A В C.
((C В) A) (~A (~В ~C))= .
2. Множество Х определяется через множества A, В и C условием XC=AВ. При каких условиях на А,B,С возможно решение? Найти Х.
1.6.3. Доказательство тождеств
Пояснения. Используя определения операций на множествах и исходя из отношения принадлежности, можно доказывать справедливость тождеств. Например: A (~A B)=A B.
Доказательство. Данное тождество означает, что каждый элемент множества А (~А В) принадлежит и множеству А В и наоборот.
Пусть из х А (~А В) следует, по определению , что х А и из х (~АВ) следует (х А и х ~А) или (х А и х В). Так как х не может одновременно принадлежать множествам А и ~А, то получаем х А и х В х А В.
Обратно: пусть х А В х А и х В. Из того, что х В, следует, что х может принадлежать объединению В с любым множеством, тогда пусть х (~А В), и в итоге х А (~А В).
Докажите следующие тождества:
1. A(B\A)=AB.
2. A(B\C)=(AB)\C.
3. A \ (BC)=(A\B) (A\C).
4. A (B \ A)=.
5. A \ (AB )=(A\B).
6. A \ (BC)=(A\B) (A\C).
7. (AB)\C =(A\C)(B\C).