1.4. Уравнения на множествах

Пусть задано равенство двух множеств, определённых формулами, которое устанавливает отношения между входящими в формулы множествами. Необходимо выяснить эти отношения в терминах взаимного включения множеств. Часто второе множество задано как пустое.

Решение задачи основано на следующих простых соотношениях: если А В С=, то А= , В= , С= ;

если А В=, то А В или В А.

Если уравнение записано в виде F1=F2, где F2 - непустое множество, то это уравнение можно привести к виду, когда справа будет стоять пустое множество. Для этого используем соотношение, вытекающее из определения равенства множеств: если F1=F2, то из этого следует, что (F1 ~F2)  (~F1  F2) =.

Пример. Уравнение имеет вид: (~А  В)  (А ~В С)=. Значит, (~А  В) = и (А ~В С)=. Откуда следует, что В А и (А  С)  В.

1.5. Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называют множество М, содержащее все возможные пары, в которых на первом месте стоит элемент из А, на втором – элемент из В. Формально АхВ = М, М={(a_i , b_j )| a_i A, b_j B}. Элементы декартова произведения являются кортежами.

Пример. Пусть А={1,2,b} и B={a, b, 2}, тогда AxB={(1, a), (2, a), (b, a), (1, b), (2, b), (b, b), (1, 2), (2, 2), (b, 2)}.

Если |A| =na и |B|=nb, то |AxB|=nanb

Аналогично вводится произведение трех, четырех и т.д. множеств как множество троек, четверок и так далее, в которых на первом месте записан элемент первого множества, на втором - элемент второго и т.д.. Если все сомножители в произведении одинаковы, оно называется декартовой степенью: А=А¹; АхА=А²; АхАхА=А³; АхАх А...А = А^k, k0.

Результат декартова произведения не является подмножеством универсального множества.

Для декартова произведения не выполняются условия коммутативности и ассоциативности. Действительно, множество АхВ содержит в качестве элементов пары (а_i ,b_j ), а множества ВхА — пары (b_i ,a_j ), т.е. результирующие множества содержат различные элементы. Элементы произведения (АхВ )хС - пары ((a_i ,b_j ),c_k ), а Ах(ВхС) – пары (a_i ,(b_j ,c_k)). Элементами множества АхВхС являются тройки (a_i ,b_j ,c_k). Значит, (АхВ)хС  А х ( ВхС )  АхВхС.

1.6. Контрольные вопросы и задания

1.6.1. Задачи на множествах

1. Чему равна мощность множества ? А множеств  , ?

2. Даны два множества, такие, что А В =. Что представляют собой множества А\В и В\А ?

3. Даны два множества C  D = . Что можно сказать о множествах С\D и D\С ?

4. Даны множества А, В, С. Определить множество, включающее в себя элементы, входящие только в два из этих множеств.

5. Решить предыдущую задачу при условии, что множества А, В и С взаимно не пересекаются.

6. Доказать, что для любых двух множеств А и В справедливо равенство ~(А B) = (A ~B) (~A B) (~A ~B).

7. Доказать, что для любых A, B, C имеет место равенство (А В) (В С) (А С) = (А В) (В С) (А С).

8. Пусть даны множества А, В и С, С  В . Какие из нижеследующих утверждений верны: a) (АС)  (АВ); б) (АC)  (АВ); в) А\B  А\С; г) С\А В\А ; д) ~B\A~C\A ?

9. Пусть А1, А2,..., Ак множества, и Сi=A1A2  ...Ai, i=1,...,k. Доказать, что S={A1, A2\C1, A3\C2, ..., Ak\Ck-1} -разбиение множества Ск.

10. Какие утверждения верны для любых множеств А, В, С:

а) если А  В и В  С, то А  С;

б) если А В и не верно, что В  С, то А  С.

11. Доказать, что для любых конечных подмножеств M, N, K всегда имеет место:

    • |M  N|=|M|+|N|-|M  N|;

    • |M  N  K|=|M|+|N|+|K|-|M N|-|M K|-|K N|+|M N K.|

Сформулируйте и докажите аналогичную формулу для произвольного числа конечных подмножеств.