1.2. Операции над множествами
Операция (А1, А2, ... , Аk)=В сопоставляет нескольким множествам A1, A2,...,Ak множество B - результат операции. Число k называется арностью операции .
Одну операцию мы уже ввели – операцию дополнения. Её арность равна 1 (унарная операция).
Пусть даны два множества A и B и множество C является результатом операции над ними (бинарная операция). Перечислим элементарные бинарные операции:
пересечение множеств С = А В, если С=сc А с В . Эту операцию называют еще умножением множеств или операцией И;
объединение множеств С = АВ, если С=с сА | сВ. Другое название операции - сложение множеств или операция ИЛИ ;
разность множеств C = A\B, если С=с с А с В. Иначе операцию называют А без В;
симметрическая разность C = AВ, если С=с сА\В сВ\А.
Результат любой описанной операции снова является множеством той же предметной области, его можно использовать в качестве аргумента операций над множествами. Таким образом, можно строить сложные формулы, описывающие множество через другие множества. Например, (А В) (А В С).
Две формулы эквивалентны, если им соответствуют равные множества. Обозначим это как F1=F2.
О
перации
на множествах можно графически представить
в виде кругов Эйлера, когда множествам
сопоставляются замкнутые фигуры на
плоскости, взаимное расположение которых
определяет результат операции (рис.
1.1). Так, пересечение двух фигур,
сопоставленных
множествам A и B, образует новую замкнутую фигуру, соответствующую общей части фигур А и В – результату операции пересечения, и т.п.
Разбиением или покрытием множества А называют множество его подмножеств {A1, A2, ..., Ak} такое, что имеет место (A1 A2 ... Ak)=A, и для любой пары подмножеств Аi Aj=, если i j . При этом говорят, что множество А разбито на подмножества A1, A2, ...,Ak или покрыто подмножествами A1, A2, ..., Ak, а подмножества А1, А2,... называются классами разбиения или классами покрытия. Выбор того или другого термина определяется смыслом предметной задачи.
1.3. Свойства операций
А А=А — идемпотентность операции пересечения.
А В = В А —коммутативность операции пересечения.
А В С) = (А В) С — ассоциативность операции пересечения.
Свойства 1-3 имеет также операция .
А (В С) = А В А С — дистрибуция операции пересечения по отношению к операции объединения. Справедливо также свойство дистрибуции для операции объединения относительно операции пересечения.
Дополнение дополнения множества равно множеству, т.е. А=А.
Равенства де Моргана (А В ) = А В, ( А В ) = А В.
Для любого множества А U = А, А = , A = A, A U = U, А ~A = ; A ~A = U; A\A = .
Представленные в свойствах равенства используют для преобразования формул. Если в формуле заменить множество равным ему множеством, получится формула, равносильная исходной. Таким образом, можно в формулах удалять одинаковые члены (свойство 1), выносить за скобки или раскрывать скобки (свойство 4) и т.п.
Пример. (А В С) ( А В ~С) = (А В) (~C C) =A B.