Вопрос 38. Разложение в ряд маклорена

41. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции f(x)=(1+x)^m ,

Когда м произвольное действительное число.

 Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого

вычислим производные: f′(x)=m(1+x)^m-1, f″(x)=(m-1)m(1+x)^m-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)^m-3, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(m-

n+1)…(m-2)^.(m-1)m(1+x)^m-n, … При x=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m,  f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …,

 f⁽ⁿ⁾(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значенийm) и что  . Таким образом, при x (-1;1) имеет место разложение:

(1+x)^m=1+ + + +

+…+  .            

Ряд называется биномиальным рядом.

41. Разложение в ряд Маклорена обратных тригонометрических функций f(x)=arctg(x) и f(x)=arcsin(x)

 Разложить в ряд Маклорена функцию

  f (x) = arcsin x.

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом, свойством почленного интегрирования степенных рядов и очевидным равенством

Подставим в формулу : эталонного ряда (биномиальный)

  (-x²)  вместо х и :

Тогда

Полученный ряд сходится на интервале (- 1, 1).

f(x)=arctg(x)

Проинтегрируем обе части равенства так как интеграл тангенса=1/(1+(x)^2)

=1-x²+x⁴-x⁶+…+(-1)^n.x²ⁿ+… .    

от 0 до x при x (-1;1):

 

или

arctgx=x  .         

Можно показать, что ряд имеет область сходимости     [-1;1].

Arctg(x)=x-(x^3)/3+(x^5)/5-…….((-1)^(n-1))*((x^(2n-1)))/(2n-1)+0(x^(2n+1))

Вопрос 42.

Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

f(x)=? при х = х1 ε > 0

Если f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в степенной ряд.

f(x)=a0+a1x+a2(x)^2+...+an(x)^n+... x1є(-R;R)

точное значение f(x1) равно сумме этого ряда при х = х1, т.е

f(x)=a0+a1x+a2(x)^2+...+an(x)^n+... , а приближенное частичной сумме Sn, т.е

f(x1)≈ Sn(x1)=a0+a1x1+a2(x1)^2+...+an(x1)^n+...

точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равно по модулю остатку ряда, т.е

|f(x1)-Sn(x1)|= |rn(x1)|, где rn=an+1(x1)^(n+1)+an+2(x1)^(n+2)...

таким образом, ошибку |f(x1)-Sn(x1)| можно найти, оценив остаток rn(x1) ряда.

Для рядов лейбницевского типа

|rn(x1)|=|un+1(x1)+un+2(x2)+...|<|un+1(x1)|

Вопрос 43.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ.

X x x

∫f(x)dx=∫ (f(a)+f`(a)(x-a)+((f``(a))/ 2!)*(x-a)^2+...)dx=f(a)x| +f`(a)(x-a)^2

a a a

x x

+(f`(a)(x-a)^2)/2| +(f``(a)(x-a)^3)/ (2!*3)| +...

a a

Вопрос 44.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ.

y``=f(x;y;y`)

y|x=x0=y0, y`|x=x0=y0 *уй знает что это такое

Решение y=y(x) ищем в виде ряда Тейлора:

y=y(x0)+(y`(x0)/ 1!)*(x-x0)+(y``(x0))/ 2!)*(x-x0)^2+...+(y(x0)^n/ n!)*(x-x0)^n +...