1. Дифференциальное уравнение: его порядок и степень, общее и частное решения. Теорема существования и единственности дифференциального решения.

Дифф. Уравнение – уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

явная форма задания диф. ур.

неявная форма задания диф. ур.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок наивысшей производной, содержащийся в уравнении. y’’+y= 0 – ур-е 2-го порядка.

Степень дифференциального уравнения – наибольший показатель степени при старшей производной.

Общее решение дифф. уравнения – решение, содержащие произвольные постоянные.

явный вид.

Частное решение – решение при определенных значениях произвольных постоянных.

Теорема о существовании и единственности решения.

Если функция f непрерывна в окрестности начальных значений и непрерывны её частные производные, начиная с y , то уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее данным условиям.

2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим дифф. уравнение вида:

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое только от у. Такие уравнения называют Дифф. уравнения с разделяющимися переменными.

Перенесем первое слагаемое направо и разделим обе части на , получим:

Уравнение с разделенными переменными.

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной нулевого измерения, если выполняется условие:

Пример:

Дифф. уравнение однородно, если функция f(x,y) однородная нулевого измерения.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид

5. Дифференциальные уравнения Бернулли.

Уравнения Бернулли:

.

Далее как в линейных дифференциальных уравнениях:

Вопрос 6

Уравнения в полных дифференциалах

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. Если выполн условие dp/dy=dq/dx

du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

du=0

u(x,y)=c u=?

Пример: (2y-3)dx+(2x+3y^2)dy=0

P(x,y)=2y-3 dp/dy=2

Q(x,y)=2x+3y^2 dq/dx=2

Dp/dy=dq/dx=2

Это уравнение в полных дифференциалах

O(0.0)

Вопрос 7

Приближенные методы решения дифф. ур-й 1-го порядка.

Графический метод.

Y’=f(x,y)

yIx=x0=y0

M0(x0.y0)

1. Y’(x0)=f(x0,yo)=ON0

М0(x0,y0)

Tga0=ON0/OP=ON0

2. M1(x1,y1)

Y’(x1)=f(x1,y1)=ON1

M1M2IIPN1

Численное решение

y-y0=k(x-x0) - уравнение пучка прямых K=f(x0,y0)

1)M1(x1,y1) y1-y0=F(x0,y0)(x1-x0) Y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)

2)y2-y1=f(x1,y1)(x2-x1) y2=……

Оба метода-методы Эйлера!!

Вопрос 8.

Геометрический смысл дифф. Уравнений первого порядка. Изоклины. Поля направлений.

Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет   - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением  , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:  .  Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.  Для примера построим изоклины уравнения  . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции  , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые  ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С ( , где   - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох):   - ось Оу;  ;  ;   и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).