Вопрос 4.

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера).

Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией

   , (1)

где I - момент инерции тела относительно данной нецентральной оси . Проведём через центр масс С о сь ОО , параллельную данной нецентральной оси  . Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси    и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых :

   , (2)

где  - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем

    - теорема Штейнера.

Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :

 

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Вопрос 5.

Момент инерции однородного тонкого стержня.

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:

I = (1/12)ml²,

где l –длина стержня.

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:

I = (1/3)ml²

Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Момент инерции тела I относительно любой оси равен моменту инерции тела I_с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m, умноженная на квадрат расстояния l между осями:

I = I_c + ml².

Вопрос 6.

Момент инерции однородного круглого диска и однородного кольца.

Найдем момент инерции бесконечно тонкого диска. Предпола­гается, что диск  однородный, т. е. вещество распределено в нем с постоян­ной плотностью. Пусть ось Z, проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 2). Рассмотрим бесконечно тонкое с внутренним радиусом r и наружным радиусом r+dr. Площадь такого кольца  . Его момент инер­ции найдется по формуле IZ = mR2. Момент инерции всего диска определяется интегралом  . Ввиду однородности диска  , где  - площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

  (2)

Момент инерции относительно диаметра вдвое меньше, как это непосредственно следует из формулы Ix + Iy = Iz, и из соображения симметрии:

Вопрос 7.

Теорема о движении центра масс механической системы. Следствия из теоремы.

Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm_i, к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где   - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат;  внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

Следствия

Если

 = 0, то  .

Если

 = 0, то  .

Если

= 0,  , то  ,

и имеет место равенство:

где   – абсолютное перемещение центра масс k-го тела механической системы вдоль оси x.

Здесь   – переносное перемещение центра масс k-го тела системы;  - относительное перемещение центра масс k-го тела системы.