Вопрос 9.

Угловая скорость и угловое ускорение вращающегося твердого тела.

Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемая угловой скоростью ω:

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту.  За одну минуту тело повернется на угол 2π⋅ n, где n – число оборотов в минуту (об/мин).  Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:

Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

Вопрос 10.

Равномерное и равнопеременное вращения твердого тела.

Если угловая скорость  ω=const, то вращательное движение называется равномерным. Уравнение равномерного вращения

φ=φ₀+ωt

Если угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. 

Уравнение равнопеременного вращения

и уравнение, выражающее угловую скорость в любой момент времени

 

ω=ω₀+εt

представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

Вопрос 11.

Скорость и ускорение вращающегося твердого тела.

Так как траектории точек вращающегося тела – окружности, при определении скорости и ускорения удобно воспользоваться естественным способом задания движения. Дуговая координата, определяющая положение точки на траектории, связана с углом поворота равенством:

s = φR . Отсюда:

Ускорение определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

модуль ускорения

Угол α, образованный вектором ускорения точки с радиусом окружности OM, для всех точек тела в любой момент времени одинаков,

Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении твердого тела также называют соответственно вращательным и центростремительным:

Вопрос 12.

Векторные выражения скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Модуль скорости точки вращающегося тела ν = ωR = ωr sinβ  равен модулю векторного произведения ω⊗r.

Следовательно:

ν = ω×r         (формула Эйлера).

Определим ускорение точки, продифференцировав формулу Эйлера:

Первое слагаемое является касательным (вращающим) ускорением a_τ= ε ⊗ r,  

а второе – нормальным (центростремительным)  a_n = ω ⊗ (ω ⊗ r) = ω ⊗ ν.

Вопрос 13.

Передача вращательного движения от одного тела к другому.

Передаточные механизмы (рисунок 1.8) предназначены для передачи вращения от одного вала (ведущего – 1) к другому (ведомому – 2).

Вращательная скорость ν_C в точке соприкасания колес C относится к точкам обоих колес, по модулю

ν_C = r₁ω₁ = r₂ω₂

Передаточное число определяется отношением угловых скоростей или радиусов ведущего и ведомого колес.

В случае передачи вращения зубчатыми колесами передаточное число определяется как:

где  z₁ и  z₂ – числа зубьев ведущего и ведомого колес (т.к. число зубьев пропорционально среднему диаметру колеса).