Вопрос 26.

Обобщенные координаты. Число степеней свободы.

- независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s уравнениями вида qi=qi(t), где t — время. О. к. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число уравнений, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с уравнениями в декартовых координатах. В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физ. поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, наз. потенциалами, волн, функциями и т. п.

В механике, степени свободы — это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая положение системы или тела (а вместе с их производными по времени — соответствующими скоростями - полностью определяющая состояние механической системы или тела - то есть их положение и движение). Это фундаментальное понятие применяется в теоретической механике, теории механизмов и машин, машиностроении, авиации и теории летательных аппаратов, робототехнике и других областях.

В случае, когда рассматривается система со связями, количество степеней свободы механической системы меньше, чем количество декартовых координат всех материальных точек системы, а именно:

где n - количество степеней свободы, N - количество материальных точек системы, n_link - количество удерживающих связей за исключением избыточных

Вопрос 27.

Обобщенные силы.

Каждой обобщенной координате   можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q_k.

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q_k, соответствующую обобщенной координате q_k, надо дать этой координате приращение   (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты  :

                                                   (7)

где –   перемещение i-той точки системы, полученное за счет изменения k–той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как   есть приращение радиуса-вектора   за счет приращения координаты   при остальных неизменных координатах и времени t, отношение   можно определять как частную производную  . Тогда

                        (8)

 

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых      , где   , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

               (9)

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.