19. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня

Скалярное поле задается функцией U = U(х; у; z).

Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности

и линии уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое

место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.

U(х; у; z) = С

Давая в уравнении величине С различные значения, получим

различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы

расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна

поверхность уровня.

В случае плоского поля U= U(х;у) равенство

U(х;у) = C

Представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня -

это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U(х; у) сохраняет

постоянное значение.

20. Производная по направлению

П роизводной от функции U=U(M) в точке М по направлению λ называется предел

Производная по направлению λ характеризует скорость изменения

функции (поля) в точке M по этому направлению.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению,

считая, что функция U(х; у; z) дифференцируема в точке М. Тогда ее

полное приращение в этой точке М можно записать так:

Δ Где ε_1,ε_2, ε₃ бесконечно малые функции при Δλ 0

Поскольку то

П ереходя к пределу при Δλ 0 получим формулу для вычисления производной по направлению:

В случае плоского поля формула принимает вид

21. Градиент скалярного поля и его свойства

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(х; y; z) в точке М(х; y; z), называют градиентом функции и обозначают grad U

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Величина градиента вычисляется как:

Свойства градиента функции

1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей

через данную точку.

22. Векторное поле. Векторные линии.

Полем называется область V пространства, в каждой точке кото-

рой определено значение некоторой величины. Если же каждой точке M области пространства соответствует некоторый вектор а = а(М), то говорят,

что задано вeктopнoe поле (или векторная функция точки). Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д. Вектор а = а(М), определяющий векторное поле можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов х, у и z: а= а(х; у ; z) (или а=а(r)).

Вектор a= a(М) можно представить (разложив его по ортам координатных

осей) в виде a= Р(х; у; z)i + Q(x; у; z)j + R(x; у; z)k, где Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) - проекции вектора о'(М) на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора а = a(М) равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, a= Р(х; y)i + Q(x; у)j. Векторное поле называется однородным, если a(M) – постоянный вектор, т. е. Р, R и Q - постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = 0, Q = 0, R = -mg, g- ускорение силы тяжести, m - масса точки. Векторной линией поля a называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора а(М). Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую

замкнутую кривую, называется векторной трубкой. Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля

а = Р(х; у; z)i + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)k

описываются системой дифференциальных уравнений вида

Действительно, пусть PQ – векторная линия поля, r = xi + уj + zk – ее радиус-вектор. Тогда вектор dr = dxi+ dyj + dzk направлен по касательной к линии PQ в точке М. В силу коллинеарности векторов а и dr следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства.