8. Вычисление тройного интеграла в декартовых, циллиндрической, сферической системах координат.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область D(x,y) ограничена линиями

где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем

Формулы (1) называется формулой для вычесления тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление интеграла в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Здесь предполагается, что

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью

Тройные интегралы в сферических координатах.

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ, где ρ − длина радиуса-вектора точки M;φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).Иногда выгодно использовать т.н. обобщенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

9. Поверхностный интеграл по площади поверхности и его вычисление.

Пов. интеграл явл. обобщением двойного интеграла. Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S пространства Oxyz определена функцияf(x;y;z). Разобьем поверхность S на n частей S_i. В каждой части S_i возьмем произвольную точку M_i(x_i;y_i;z_i) и составим сумму ΔS_i. Она называется интегральной для функции f(x_i;y_i;z_i)по поверхности S.

Если при λ=maxd_i стремится к 0 интегральная сумма ΔS_iимеет предел, то он наз. пов. интегралом 1го рода от ф-цииf(x;y;z) по пов. Sи обозначается .

= .

Теорема о сущ. ПИ-1. Если ф-ция f(x;y;z) непрерывна в точках пов-сти S, то интеграл существует и не зависит от способа разбиения S и выбора точек Mi.

Площадь поверхности. Если поверхность S задана уравнением z = z(х; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) — непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле:

S= = dxdy.