1.Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Интегральная сумма и интеграл по фигуре. Частные случаи интеграла по фигуре.

Множество точек называется связным, если две любые точки

можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Геометрической фигурой (Ф) будем понимать одно из следующих связных

множеств (включая границу)

1. линия (L) в R^2или R^3, в частности отрезок [a b; ] координатной оси;

2. область (D) в R^2- плоская область;

3. поверхность (Q) в R^3;

4. пространственная область (V), в R^3, ограниченная замкнутой поверхностью,- тело в пространстве;

Диаметром d фигуры (Ф) называют максимальное расстояние между двумя ее точками.

Мерой фигуры (Ф) будем понимать:

• для отрезка [a b; ] его длину;

• для линии (L) ее длину l ;

• для плоской области (D) и поверхности (Q) их площади s и q соответствен-

но;

• для пространственной области (V)- объем v соответствующего тела;

Sn= Σ(i=1 до n) f(Pi)Δμi - n-й интегральная сумма для функции f(P) по фигуре (Ф).

Предел n-й интегральной суммы для данной функции f(p)

и фигуры (Ф) при условии, что каждая из элементарных фигур стягивается в

точку (λ → 0) , если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы, называется интегралом по фигуре(Ф) (ИФ) от скалярной функции f(p) и обозначается

∫ f(p)dμ^def =lim (при λ→0)Σ(i=1 до n) f(Pi)Δμi

Теорема Если на связанной, ограниченной и содержащей граничные точки фи-гуре (Ф) скалярная функция непрерывна, то интеграл по фигуре (Ф) от этой функции существует.

Частные случаи интегралов по фигуре от скалярной функции:

1)Определенный интеграл (интеграл Римана).

2) Криволинейный интеграл по длине дуги.

3) Двойной интеграл.

4) Тройной интеграл.

5) Поверхностный интеграл по площади поверхности.

2.Свойства интегралов по фигуре.

1)Интеграл по фигуре от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов подслагаемых.

2)Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла по фигуре.

3)Если фигура состоит из нескольких частей, то интеграл по всей фигуре равен сумме интегралов по составным частям.

4)Если подынтегральная функция f(p)=1,то интеграл по фигуре равен мере μ этой фигуры.

5)знакопостоянство интеграла

 Если  то 

6)монотонность

 Если  , то 

7)теорема об оценке интеграла

Если  , то 

8)модуль интеграла по фигуре не превышает интеграла от модуля функции

9)теорема о среднем

Если f(p) определена и непрерывна на фигуре Ф, то найдется по крайней мере р0 такая ,что

3. Механическая интерпретация интегралов по фигуре

4.Геометрический смысл двойного интеграла.

В ычисление площади плоской фигуры, ограниченной осью Ox. x=a, x=b, y=f(x).

S=

Пусть дана функция z= f(x,y)- определенна, непрерывна и не отрицательна в ограниченной замкнутой области D.

Цилиндрическим телом (цилиндройдом) относительно оси Oz наз. часть пространства , ограниченного снизу плоской областью D, лежащей в обл. D. Ограниченного сверху графиком z= f(x,y) и сбоку цилиндрической поверхностью с образующей параллел. оси Oz и направляющей , явл. границей обл. D.

Д ля вычисления объема цилинд. Тела, проекцию тела разобъем n-элементарных частей с площадями ΔS_i. В каждой площадке выберем точки P_i. Для обозначения функ. от f(x,y) в точках P_i изменяется от i=1, n. Построим прямой цилиндрический столбик с площадью основания ΔS_i и высотой f(P_i)=f(x_i,y_i).Объем такого столбика: ΔV_i= ΔS_i f(P_i). Сумма

объемов цилиндр. столбиков:

Для определения точного значения:

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции

равна объему цилиндрического тела(Vцил).