19. Геометрические принципы формирования поверхности оболочек. Понятие «гауссова кривизна»

В архитектурно-строительной практике широко применяются пространственные криволинейные формы, основу которых представляют различные кривые поверхности в их «чистом» геометрическом виде или составленные (комбинированные) из нескольких поверхностей.

Линия, которая при своём перемещении образует поверхность, называется образующей, она может быть постоянной или переменной формы. Образующая может перемещаться по какой-либо другой линии, называемой направляющей. При образовании поверхностей образующая может считаться направляющей и наоборот.

Если одна из линий, образующая или направляющая, будет ломаной, то образованная поверхность называется ребристой. Если поверхность состоит из отсеков плоскостей, она называется гранной.

Всё многообразие форм поверхностей зависит от формы образующей и от закона перемещения её в пространстве.

Все поверхности можно разделить на развёртывающиеся и неразвёртывающиеся. Развёртывающиеся поверхности можно путём изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок. Неразвёртывающиеся, соответственно, - лишь с разрывами и складками.

Также поверхности бывают линейчатые, если они образованы перемещением прямой линии, и нелинейчатые (или кривые).

Ещё существуют поверхности вращения, которые образуются вращением какой-либо линии вокруг прямой, называемой осью вращения.

Поверхности могут быть просто кривые (если кривая образующая и прямая направляющая) и двоякой кривизны (кривые и та и та).

Геометрию оболочек можно строить на основе различных поверхностей: трансляционных (параллельного переноса образующих кривых), сферических, тороидальных и др. При выборе поверхности руководствуются соображениями удобства реализации теоретичесикх форм в натуре, в том числе сокращения числа типоразмеров панелей, если оболочка делается сборной. Например, тороидальная поверхность позволяет обойтись одним типом панели. Панели сборных покрытий изготавливают плоскими или цилиндрическими. Таким образом, поверхность оболочки представляется или гранёной, или состоящей из мелких участков одинарной кривизны, вписанных в исходную поверхность двоякой кривизны.

Полная кривизна, гауссова кривизна, - одна из мер искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки, равная произведению главных кривизн. Для плоскости (а также для любой развёртывающейся линейчатой поверхности) она обращается в нуль. Для сферы она постоянна и равна обратной величине квадрата радиуса сферы. В случае поверхности, имеющей вид автомобильной шины (тор), она отрицательна в точках, прилегающих к колесу, и положительна в наружных точках.

Короче говоря, положительная гауссова кривизна – это выпуклая плоскость, отрицательная – вогнутая. В учебнике по начерталке это было, но его, конечно, сейчас нет. Формула K=k1хk2, где K – гауссова кривизна, а k1 и k2 – кривизны образующей и направляющей (по-моему, как-то так). То есть если один из множителей отрицателен, то и произведение отрицательно, и, наоборот. Мне искренне жаль, что так нелепо объясняю, но нигде ничего толкового не могу найти.

Пример оболочки отрицательной гауссовой кривизны – гипар.