Второй блок

1.Комплексные числа, Действия над комплексными числами.;

Комплексным Числом z называется выражение вида z = x+iy,

где х и у - действительные числа, а i так называемая мнимая

единица, i^2 = -1.;

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ;

Cуммой двух комплексных чисел Z1 = X1 + iY1 И Z2 = Х2 + iY2

называется комплексное число, определяемое равенством:;

Z1 + Z2 = (X1 + Х2) + i(Y1 + Y2).;

Сложение комплексных чисел обладает nереместuтельным (коммутативным) и соЧетательным (ассоциативным) свойствами:

Z1+Z2=Z2+ Z1,;

(Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3).;

Вычитание комплексных чисел;

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и Z2 называется такое комплексное число Z, которое, будучи сложенным с Z2, дает число Z1, т. е.;

Z = Z1 - Z2, если Z + Z2 = Z1.;

Если Z1 = X1 + iY1, Z2 = Х2 + iY2, ТО из этого определения легко получить Z:

Z = Z1 - Z2 = (х1-х2) + i*(y1-y2);

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы:

|Z1 - z2| = корень((X1 - Х2)^2 + (Y1 - У2)^2) = d,;

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию

d между точками, изображающими эти числа на плоскости.;

Умножение комплексных чисел;

Произведением комплексных чисел Z1 = х1 + iY1 И Z2 = X2 + iy2;

называется комплексное число, определяемое равенством:;

z = Z1Z2 = (Х1Х2 - У1У2) +i(X1Y2 + У1Х2);

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение:;

i^2 = -1;

Деление комплексных чисел;

Деление определяется как действие, обратное умножению. ЧастнЫм двух комплексных Чисел Z1 и Z2 >< О называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на Z2, дает число Z1, т.е. z1/z2 = z, если Z2*Z = Z1.;

Если положить Z1 = Х1 + iY1, Z2 = Х2 + iY2 >< О, Z = Х + iy, То из равенства (Х2 + iY2)(X + iy) = Х1 + iY1 следует:;

{Х*Х2 - Y*Yz = Х1,{Х*У2 + Y*Xz = У1·;

Решая систему, найдем значения Х и у:;

x=(x1*x2 + y1*y2)/(x2^2 + y2^2);

y=(y1*x2 - x1*y2)/(x2^2 + y2^2);

Таким образом,

Z=z1/z2 = ((x1*x2 + y1*y2)/(x2^2 + y2^2)/()) + i*((y1*x2 - x1*y2)/(x2^2 + y2^2));

2.Числовая последовательность и ее предел.;

Под Числовой nоследоваmельносmью Х1 , х2, хЗ, ... , Х n , ... понимается функция:

Хn = f(n);

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {Хn } или хn, n принадлежит N. Число X1 называется первым членом (элементом) последовательности, Х2 - вторым, ... ,Xn - общим или n-м Членом nоследоваmельносmи.;

Чаще всего последоват('льность задается формулой его общего члена.

Формула Хn = f(n) позволяет вычислить любой член последовательности

по номеру n, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности.;

Так, равенства

Un = n^2 +1,;

Zn = (-1)^n * n,;

Yn = 1/n,;

Un = (n-1)/n;

n принадлежит N;

задают соответственно последовательности:

Un = {2,5,10, ... , n^2 + 1, ... };

Zn = {-1,2, -3,4, ... ,(-1)^n * n, ... };

Уn = {1, 1/2,1/3,1/4, ... ,1/n, ... };

иn = {o,1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,..., (n-1)/n, ... }.;

Предел числовой последовательности;

Число а называется nределом последователЬНостu {Хn }, если для любого положительного числа эпсилон найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство:

|Xn - a|<эпсилон;

в этом случае пишут lim хn = limn->бесконечности Xn = а или хn -> а и говорят, что последовательность {Xn } (или ПЕременная Xn , пробегающая последовательность Х1,Х2,ХЗ,...) имеет предел, равный числу а (или Xn стремится к а). Говорят также, что последовательность {Xn } сходиmса к а.;