49.Способы записи квадратичных форм.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

--Квадратные, смежные и неоднозначные квадратичные формы;

Две формы (a, b, c) и (a, b', c') называются смежными, если выполняется условие b+b'=0(mod2c), например: (a,b,c)~(a,-b,c);

Также на множестве эквивалентных форм можно определить операцию умножения(композицию) тогда, если коэффициенты a и b взаимно-просты, (a,b,ac)^2~(a^2,-b,c);

Квадратной формой называется квадратичная форма вида f=(a,b,c^2) , в которой третий коэффициент является полным квадратом. Из квадратичной формы f можно извлечь квадратный корень. Для вычисления корня заменим форму f на эквивалентную ей смежную форму f~(c^2,-b,a), потом извлечем квадратный корень на основании предыдущего определения. В итоге операция извлечения корня сведется к следующему:

g=f^1/2=(a,b,c^2)^1/2=(c^2, -b, a)^1/2=(c,-b, a*c)

Форма вида (k, kn, c) называется неоднозначной. Если форма неоднозначна, то ее определитель делится на k:D=(k*n)^2-4k*c=k*(k*n^2-4*c)

50. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Якоби.

--Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа;

Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве l называется функция k, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x)=b(x,x), где b – симметричная билинейная функция;

При приведении квадратичной формы к диагональному виду (каноническому виду) можно воспользоваться методом выделения квадратов (методом Лагранжа);

--Метод Якоби — метод простой итерации для решения системы линейных алгебраических уравнений.

51. Положительная и отрицательная определённость квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

--Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.;

--Критерий положительной определённости квадратичной формы;

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.;

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.;

1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.;

2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно;

--Критерий отрицательной определённости квадратичной формы;

Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.;

Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица А является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица -А является положительно определённой. При замене матрицы А на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же;