44. Матрица линейного оператора. Связь между координатами вектора и его образа;

--Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej)i}: A=(Первая строка: a11 a12 ... a1n; вторая строка: a21 a22 ... a2n; третяя строка: am1 am2 ... amn);

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x, x=x1*e1+x2*e2+...+xn*en; y=y1*f1+y2*f2+...+ynfm;

матрица ( в 1 столбец y1 y2 ... ym)=(Первая строка: a11 a12 ... a1n; вторая строка: a21 a22 ... a2n; третяя строка: am1 am2 ... amn)*(в столбец x1 x2 ... xn)

--Связь между координатами вектора и его образа.

46. Эллипс, вывод уравнения, директрисы и эксцентриситет. Окружность.;

Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом. ;

Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем:

каноническое ур-ие эллипса x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1,;

b2=-(с2-a2).;

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая. ;

Эксцентриситет. эпсилон = с/а ,(если а>b), эпсилон = с/b, (если а<b);

Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса. ;

У эллипса эксцентриситет находится: 0 <= эпсилон <= 1.;

Случай эпсилон=0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.;

Директрисы (D). Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине 1/эпсилон , называется директрисами. ;

x= +- a/эпсилон;

Примечание: у окружности нет директрисы;

47) Гипербола, вывод уравнения, директрисы и эксцентриситет.;

Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.;

Каноническое уравнение гиперболы:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, где b^2 = c^2 - a^2 .;

Гипербола есть линия второго порядка.;

Гипербола имеет 2 асимптоты: y = (b/a)*x и y = -(b/a)*x;

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

x^2 - y^2= a^2;

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:

эпсилон = с/а;

Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы с>1.;

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: эпсилон = корень(1+ (b/a)^2) .;

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен корень(2);

Директрисы – прямые x = +-(a/эпсилон) .;

Фокальные радиусы:

r1 = корень((x+c)^2 + y^2) и

r2 = корень((x-c)^2 + y^2) .;

Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

48.Парабола, вывод уравнения. Директриса параболы.;

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.;

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.;

Парабола есть линия второго порядка. ;

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим:

MF = корень((x- p/2)^2 + y^2),;

MN = корень((x-p/2)^2 + (y-y)^2) =>;

корень((x-p/2)^2 + y^2) = корень((x-p/2)^2) =>;

x^2 - p*x + (p^2/4) + y^2 = x^2 + p*x + p^2/4 =>;

Каноническое уравнение параболы:

y2 = 2px.