31.Деление отрезка в данном отношении.

Дано две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) и вещественное число альфа. Разделить отрезок М1М2 в отношении альфа — это значит найти точку M(x,y) на отрезке М1М2, такую что отношение длин отрезков М1М и ММ2 равно альфа, причем при отрицательном альфа точка М должна находиться вне отрезка М1М2;

32. Способы задания прямой на плоскости.;

1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом:;

Пусть: tg а=k, tg а=(y-b)/x , тогда: y = kx + b.;

Число tg =k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.;

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;

Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.

y - yo = k(x-xo);

Уравнение с различными значениями к называют также уравнениеми пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).;

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки. (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

, уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1, у1) и М2(х2,у2);

4. Уравнение прямой в отрезках.;

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)

В этом случае уравнение примет вид:

(y-0)/(b-0)=(x-a)/(0-a),

x/a + y/b = 1;

5.уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.;

A(x-x0)+B(y-Y0)=0 - уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.;

6. нормальное уравнение прямой:;

x*cos a + y*sin a - p =0;

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

tg фи= (K2-K1)/(K1*K2);

Расстояние от точки до прямой:

d= |Ax0 + By0 + C|/ корень(A^2 + B^2);

33. Расположение двух прямых на плоскости.

1. Параллельные прямые линии;

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;

2. Пересекающиеся прямые;

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку;

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи;

Скрещивающиеся прямые;

3.Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости;

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи;

34. Вывод уравнений плоскости в пространстве и прямой на плоскости.

Рассмотрим произвольную точку М(x0,y0,z0) в пространстве и некоторый вектор n(a,b,c). Очевидно, что геометрическим местом точек A(x,y,z) таких, что вектор MA перпендикулярен вектору n будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор n является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.;

--Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:

MA перпендикулярно n => (МА, n)=0

Запишем последнее равенство в координатах:

(x-x0)*a+(y-y0)*b+(z-z0)*c=0;

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду

ax+by+cz-(ax0+by0+cz0)=0

Обозначая d=-(ax0+by0+cz0) получим ax+by+cz+d=0

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

--Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0

35. Векторно-параметрическое уравнение и канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки.

--Векторно-параметрическое уравнение прямой

r=r0+a*t,

где M0(r0)=m0(x0,y0,z0) - фиксированная точка, лежащая на прямой; a=(l,m,n) - направляющий вектор.

--Канонические уравнения прямой

(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n

--Уравнения прямой по двум точкам

(x-x0)/(x1-x0)=(y-y0)/(y1-y0)=(z-z0)/(z1-z0)

36) Уравнение плоскости, проходящей через три точки.;

|(x-x1,y-y1,z-z1)/(x2-x1,y2-y1,z2-z1)/(x3-x2,y3-y2,z3-z2)| =0;

37) Расположение двух плоскостей в пространстве. ;

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей:;

пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:;

А1х +B1y + C1z + D1=0;

A2x + B2y + C2z + D2=0;

Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

cos фи = (A1A2+B1B2+C1C2)/(корень(A1^2+B1^2+C1^2) * корень(A2^2+B2^2+C2^2));

38.Расположение двух прямых в пространстве.;

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.;

Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S1 и S2.;

cos фи = (m1m2+n1n2+p1p2)/(корень(m1^2+n1^2+p1^2) * корень(m2^2+n2^2+p2^2));

Для нахождения острого угла между прямыми L1 и L2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.;

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е.

m1m2+n1n2+p1p2=0.;

Если прямые L1 и L2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S1 и S2. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны:

m1/m2 = n1/n2 = p1/p2;

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:

|1стр: x2-x1,y2-y1,z2-z1..2стр:m1,n1,p1..3стр:m2,n2,p2|=0.;

При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.

39) Угол между прямой и плоскостью. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости.;

Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями

(x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p.;

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.

sin фи |Am+Bn+Cp|/ (корень(A^2+B^2+c^2) * корень(m^2+n^2+p^2)).

40.Расстояние от точки до плоскости.;

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/корень(A^2+B^2+C^2)

41) Расстояние от точки до прямой на плоскости.;

d = |Ax0 + By0 + C|/корень(A^2 +B^2);

42. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их свойства.

--Собственным значением линейного преобразования A называется такое число лямпда принадлежит K, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax=лямпдаx имеет ненулевое решение x принадлежит L.

--собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора

--Свойства:

1. Собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

2. Все собственные векторы линейного преобразования A:V->V, принадлежащие одному собственному значению, совместно с нулевым вектором образуют линейное подпространство, инвариантное относительно преобразования A. Такое линейное подпространство называется собственным для преобразования A.;

3. Для собственного лямпда значения линейного преобразования A:V->V существует цепочка инвариантных подпространств