17. Линейные операции над векторами, свойства векторов;

--Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число;

1. Сложение векторов. Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор OA=a; затем от точки А отложим вектор AB=b . Вектор OB, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается a+b;

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы OA=a и OB=b . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор OC – диагональ параллелограмма – является суммой векторов a и b;

2. Вычитание векторов. Разностью a-b векторов a и b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a:a-b=c и b+c=a.

Если векторы a и b привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»;

Таким образом, если на векторах a и b, отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор OC, совпадающий с одной диагональю, равен сумме a+b, а вектор BA, совпадающий с другой диагональю, – разности a-b

3. Умножение вектора на число. Произведением вектора a на действительное число c называется вектор b (обозначают b=ac ), определяемый следующими условиями:

1) lbl=lal*lcl ,

2) a и b возрастают при с>0 и b возрастает, а a убывает при c<0.

Очевидно, что при c=0 и=0 .

--Свойства линейных операций:

1)a+b=b+a;

2)a+(b+c)=(a+b)+c;

3)a+0=a;a+(-a)=0;

4)(альфа*бетта)*a=альфа*(бетта*a)=бетта*(альфа*a);

5)(альфа+бетта)*a=альфа*a+бетта*a;

6)альфа*(a+b)=альфа*a+бетта*b;

7)1*a=a;-1*a=-a;

18. Линейные операции над векторами с заданными координатами, свойства векторов.

--Произведением вектора

x=(x1;x2;...xn) на действительное число с называется вектор сx=(cx1;cx2;...cxn);

т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Зная вектор x=(x1;x2;...xn) можно получить противоположный вектор -x=-1*x=(-x1;-x2;...-xn);

--Суммой векторов x=(x1;x2;...xn) и y=(y1;y2;...yn) называется вектор x+y=(x1+y1;x2+y2;...xn+yn), т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются;

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор;

--Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

x+y=y+x;

Свойство 2.

(x+y)+z=x+(y+z);

Свойство 3.

альфа*(x+y)=альфа*x+бетта*y;

Свойство 4.

(альфа+бетта)*x=альфа*x+бетта*x;

Свойство 5.

альфа*(бетта*x)=альфа*бетта*x

Свойство 6.

0*x=альбфа*0=0

19. Теорема о единственности разложения вектора по базисным векторам на плоскости;

Теорема. (О разложении вектора по базису.);

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

20. Теорема о единственности разложения вектора по базисным векторам в пространстве.

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

21.Скалярное произведение векторов и его свойства.;

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.;

Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.

Свойства:

1. a*b=b*a;

2. (C*a)*b=C*(a*b);

3. a(b+c)=a*c+b*c;

4. (а,а) = |а|^2;

5. (a, b) = 0 => а перпендикулярно b;

6. ij = jk = kj = 0.;

22. Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.

Утверждение (Формула для вычисления скалярного произведения векторов): Для векторов, заданных своими координатами: a=(ax,ay,ax) и b=(bx,by,bx) справедлива формула: (a,b)=ax*bx+ay*by+ax*bx;

23. Теорема об ортогональности двух ненулевых векторов;

Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов

24.Векторное произведение векторов и его свойства.;

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.;

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1)с перпендикулярно a и b;

2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sin?; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.;

Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1. i*j=k;

2. j*k=i;

3. k*i=j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( |a,b|= -|b,a| );

2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.;

Пункты:

1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;

2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар=|a*b| sin фи. Sтр=0,5*|a*b|;

3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.