37.Достаточные условия экстремума функции.

Достаточное условие экстремума

--1) Первое достаточное условие:

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует;

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции;

--2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной g''(x) причем в некоторой точке x0 первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка x0 экстремум функции g(x), причем если g''(x0)>0, то точка является максимумом; если g''(x0)<0 , то точка является минимумом.

--3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки x0 N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка x0 экстремум функции: g^N(x0)<0 у функции точка максимума, g^N(x0)>0 у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке x0 у функции g(x) экстремума нет.

38.Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке.;

Теорема (неоБХОАимое условие экстремума).:

Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум в точке хо, то ее производная в этой точке равна нулю: f'(Хо) = о$

Теорема (достаточное условие экстремума).:

Если непрерывная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой б-окрестности критической точки Xо и при переходе через нее (слева направо) nроuзводНая f'(х) меняет знаК с плюса на минус, то Хо есть точка максимума, с минуса на плюс, то Хо - точка минимума.;

Теорема :

Если в точке Xо первая производная функции f(x) равна нулю (f'(Xо) = О), а вторая производная в точке Xо существует и отлична от нуля (f"(хо) >< О), то при f"(XO) < О В точке хо функция имеет максимум и минимум - при f"(XO) > О;

39.Выпуклость, вогнутость, точки перешиба функции.

--Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b );

--Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b );

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции;

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b );

--Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0;