34.Правило Лопиталя для различных неопределен-ей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть lim x->a f(x)=lim x->a g(x)=0 или lim x->a f(x)=lim x->a g(x)=бесконечность. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций lim x->a f'(x)/g'(x), то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x>а, причем lim x->a f(x)/g(x)=lim x->a f'(x)/g'(x);

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.;

Например, найти lim x->бесонечность (x+sinx)/(x). Этот предел существует lim x->бесонечность (x+sinx)/(x)=lim x->бесонечность (1+(sin(x))/x)=1. Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x->бесконечность не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или бесконечность/бесконечность, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: бесконечность*бесконечность; 0*бесконечность.

Для раскрытия неопределенностей 1^бесконечность, 1^0, бесконечность^0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

35.Возрастание и убывание функции.;

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию

функций и построению графика функции.

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания

функции.;

Теорема (необходимые условия).:

Если дифференцируемая на интервале (а; Ь) функция f(x) возрастает (убывает), то f'(х) >= О

(f'(х) <= О) дЛЯ каждого x пренадлеж (а; Ь).;

Пусть функция f(x) возрастает на интервале (а; Ь).

Возьмем произвольные точки х и (х+дэльта x) на интервале (а; Ь) и рассмотрим отношение делY/делX = (f(х + делX)-f(х))/делX.

Функция f (х) возрастает, поэтому если делX > О, то х + делX > х и f(х + делX) > f(x);

если делX < О, то х + делX < х и f(x + делX) < f(x).

В обоих случаях делY/делX = (f(x + делX)- f(x))/делX > О, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.

По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке х и является

пределом рассматриваемого отношения. Следовательно, f'(x) = LimделX->0 (f(x + делX) - f(x))/делX >= О.

Следовательно, при х -> -бескон график имеет горизонтальную асимптоту

у = О.

36.Необходимое условие экстремума функции;

Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x1, x2, … , xn) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует;

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то либо

1)f'(x0)=0, либо

2) производная f'(x0) не существует.