8.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.;

Теорема:

Если функция f(x) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции а(х), т.е. если Limx->x0 f(x) = А, то f(x) = А + а(х);

Теорема (обратная).:

Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а(х), то число А является пределом функции f(x), т.е. если f(х) = А + а(х), то Limx->x0 f(x) = А;

10.Первый замечательный предел.;

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел Limx->0 sinx/x = 1 называемый первым замечательным пределом.;

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.;

Доказательство:

Возьмём круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x<п/2. На рисунке |AM|= sinx , дуга МВ численно равна центральному углу х, |BC| = tgx.

Очевидно, имеем S MOB = S сектора MOB <S COB . На основании соответствующих формул геометрии получаем (1/2)sinx<(1/2)x<(1/2)tgx;

Разделим неравенство на (1/2)sinx >0, Получим 1 < x/sinx < 1/cosx, cosx < sinx/x < 1.;

Так как Limx->0 cosx = 1, Limx->0 1 = 1 , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов Limx->0 x>0 sinx/x =1;

А если x<0 =>sinx/x = sin-x/-x , где x>0 => Limx->0 x>0 sinx/x =1;

11.Второй замечательный предел.;

Limx->бескон (1 + 1/x)^2 = эпсилон

32. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.;

Теорема Ролль:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b). то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь), в которой производная f'(х) обращается в нуль, т е. f'(с) = о;

Теорема Коши:

Если функции f(x) и фи(х) непрерывны на отрезке [а;Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем фи'(х) >< О для х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка (' Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство (f(b) - f(a))/(фи(b) - фи(a)) = f'(c)/фи'(c);

Теорема Лагранж:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка е пренадлеж (а; Ь) такая, что выполняется равенство f(b) - f(a) = f'(с)(Ь - а).;

Следствие 1.

Если производная функции равна нулю на некотором

промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.;

Следствие 2.

Если две функции имеют равные производные на

некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное

слагаемое.;

33.Правило Лопиталя (0/0) ;

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0):;

Пусть функции f(x) и фи(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки Х0 и обращаются в нуль в этой точке:

f(Хo) = фи(Хо) = О. Пусть фи'(х) >< о в окрестности точки Хо. Если существует предел limx->x0 f'(x)/фи'(x) = L, то limx->x f'(x)/фи'(X) = limx->x f'(x)/фи'(X) = 1;