4.Предел монотонной ограниченной последовательности.;

Теорема (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.;

Последовательность называется:;

- монотонно возрастающей (неубывающей), если любой n X[n+1] >= Xn;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если любой n X[n+1] > Xn;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если любой n X[n+1] <= Xn ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если любой n X[n+1] < Xn ;

5) Число е. Натуральные логарифмы.;

Число е называют пеперовЫм числом. Число е иррациональное, его

приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045 ... ). Число

е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию

е называется натуральным логарифмом и обозначается ln х, т.е.

lnx = loge х.

6.Предел функции в точке. Односторонние пределы.;

Пусть фУНкция у' = f(x) определена в некоторой окрестности тоЧкu Ха, кроме, быть может, самой тоЧки Ха.;

Определение 1:;

(на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется nределом фУНкЦии у = f(x) в mоЧке Хо (или при х -> Xо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента Xn , n принадлежит N (Xn >< Xо), сходящейся к Xо (т.е. limn->бесконеч Хn = Хо), последовательность соответствующих значений функции f(Хn ), n пренадлеж N, сходится к числу А (т.е.Limn->беск f(Хn ) = А).;

В этом случае пишут Limx->x0 f(x) = А или f(x) -> А при х -> хо.;

Геометрический смысл предела функции: limx->x0 f(x) = А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке Xо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.;

Определение 2;

Число А называется nределОм фУНкЦии в mОЧке Хо (или при х -> Xо), если для любого положительного эпсилон найдется такое положительное число б, что для всех X >< Xо, удовлетворяющих неравенству |x - Xо| < б, выполняется неравенство |f(x) - A| < эпсилон.;

Геометрический смысл предела функции: А = Limx->x0 f(x), если для любой эпсилон-окрестности точки А найдется такая б-окрестность точки Хо, что для всех х >< Xо из этой б-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в эпсилон-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(х) лежат внутри полосы шириной 2эпсилон, ограниченной прямыми у = А + эпсилон, у = А - эпсилон. Очевидно, что величина б зависит от выбора эпсилон, поэтому пишут б = б(эпсилон).;

7) Бесконечно большие функции. Бесконечно малые функции. Связь между ними.;

Функция Y = f(x) называется бесконечно большой при x->x0 , если для любого числа M>0 существует число б=б(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<б , выполняется неравенство |f(x) > M|;

Функция Y = f(x) называется бесконечно большой при x->бескон , если для любого числа M>0 найдется такое число N=N(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, выполняется неравенство |f(x)>M|$;

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности. ;

Бесконечно малая функция:

Функция Y = f(x) называется бесконечно малой при x->x0 , если Limx->x0 f(x) = 0 : для любого числа эпсилон>0 найдется число б>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<б , выполняется неравенство |f(x) < эпсилон|;

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.;

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.