1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства матриц.;

Свойства матриц:

1) А + В = В + А;

2) А + (В + С) = (А+В) +С;

3) А + О = А;

4) А - А = О;

5) 1 * А = А;

6) Х * (А +В) = Х*А + Х*В;

7) (х +y) * A = x*A + y*A;

8) x * (y*A) = (x*y)*A;

где А, В, С - матрицы, х,у - числа.;

Свойства умножения матриц:

1) А*(В*С) = (А*в)*с;

2) А*(В+С) = А*В + А*С;

3) (А+В)*С = А*С +В*С;

4) х*(А*В) = (х*А)*В;

2.Многочлен от матрицы. Свойства транспонированных матриц.

свойство транспонированной матрицы:

1) (А^т)^Т = А;

2) (А+В)^т = А^т + В^т;

3) (А*В)^т = В^т * А^т;

3.Определители малых порядков. Свойства определителей.

1) если А и В – квадратные матрицы n*n, то:;

|AB|=|BA|=|A|*|B| ;

Замечание: АВ не равно ВА;

2) |А|=|А^т|;

4) определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.;

5) определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.;

6) определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. ;

7) определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.;

8) если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.;

9) если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.;

10) если какой-то ряд определителя содержит в себе общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.;

5.Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей.

теорема лапласа:

Определитель равен сумме произведения всевозможных миноров одного и того же порядка к (к<n), ктр. можно составить из произвольно выбранных к параллельных рядов на их алгебраическое дополнение.

Наиболее часто на практике применяется случай, когда к=1, тогда Т1 переходит в Т2:;

Т2 (о разложении определителя по элементам ряда):

определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.

6. Теорема замешения.

Сумма произведений произвольных n чисел d1, d2, ..., dn на алгебраические дополнения элементов некоторого ряда марицы порядка n равна определителю матрицы, которая получается из данной заменой указанного ряда на числа d1, d2, ..., dn

7. Теорема (аннулирования).

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

8.Теорема о существовании обратной матрицы.

Всякая невыржденная матрица имеет обратную.;

9. Теорема о существовании единственной обратной матрицы

Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица.

А^-1=(1/(detA))*adjA;

Доказательство;

1. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица А^-1. Тогда

АА^-1=Е;

Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем;

detA*detA^-1=1

и, следовательно, detA<>0;

Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц;

2. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A^-1 и B^-1. Тогда

А*А^-1=А^-1*A=Е

и

А*B^-1=B^-1*A=Е;

Используем эти равенства для преобразования матрицы B^-1:

B^-1=B^-1*E=B^-1*A*A^-1=(B^-1*A)*A^-1=E*A^-1=A^-1;

что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.