
- •1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства матриц.;
- •2.Многочлен от матрицы. Свойства транспонированных матриц.
- •3.Определители малых порядков. Свойства определителей.
- •5.Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей.
- •10) Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Методы вычисления.;
- •12) Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.;
- •13. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •14) Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
- •15. Метод решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений.
- •16) Линейные операции над векторами, свойства векторов.;
- •17. Линейные операции над векторами, свойства векторов;
- •18. Линейные операции над векторами с заданными координатами, свойства векторов.
- •25. Выражение векторного произведения через координаты векторов.;
- •26.Теорема о коллинеарности двух ненулевых векторов.;
- •27. Смешанное произведение векторов и его свойства.;
- •28. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.;
- •29. Теорема о компланарности трех ненулевых векторов.;
- •30.Преобразование координат. Прямоугольная декартова система координат.;
- •31.Деление отрезка в данном отношении.
- •32. Способы задания прямой на плоскости.;
- •33. Расположение двух прямых на плоскости.
- •34. Вывод уравнений плоскости в пространстве и прямой на плоскости.
- •44. Матрица линейного оператора. Связь между координатами вектора и его образа;
- •46. Эллипс, вывод уравнения, директрисы и эксцентриситет. Окружность.;
- •47) Гипербола, вывод уравнения, директрисы и эксцентриситет.;
- •48.Парабола, вывод уравнения. Директриса параболы.;
- •49.Способы записи квадратичных форм.
- •50. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Якоби.
- •51. Положительная и отрицательная определённость квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
- •Второй блок
- •1.Комплексные числа, Действия над комплексными числами.;
- •2.Числовая последовательность и ее предел.;
- •4.Предел монотонной ограниченной последовательности.;
- •5) Число е. Натуральные логарифмы.;
- •6.Предел функции в точке. Односторонние пределы.;
- •7) Бесконечно большие функции. Бесконечно малые функции. Связь между ними.;
- •8.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.;
- •10.Первый замечательный предел.;
- •11.Второй замечательный предел.;
- •32. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.;
- •33.Правило Лопиталя (0/0) ;
- •34.Правило Лопиталя для различных неопределен-ей.
- •35.Возрастание и убывание функции.;
- •36.Необходимое условие экстремума функции;
- •37.Достаточные условия экстремума функции.
- •38.Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке.;
- •39.Выпуклость, вогнутость, точки перешиба функции.
- •40.Асимптоты графика функции.;
- •41. Схема исследования и построение графика функции
- •42.Формула Тейлора и ее применение.
1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства матриц.;
Свойства матриц:
1) А + В = В + А;
2) А + (В + С) = (А+В) +С;
3) А + О = А;
4) А - А = О;
5) 1 * А = А;
6) Х * (А +В) = Х*А + Х*В;
7) (х +y) * A = x*A + y*A;
8) x * (y*A) = (x*y)*A;
где А, В, С - матрицы, х,у - числа.;
Свойства умножения матриц:
1) А*(В*С) = (А*в)*с;
2) А*(В+С) = А*В + А*С;
3) (А+В)*С = А*С +В*С;
4) х*(А*В) = (х*А)*В;
2.Многочлен от матрицы. Свойства транспонированных матриц.
свойство транспонированной матрицы:
1) (А^т)^Т = А;
2) (А+В)^т = А^т + В^т;
3) (А*В)^т = В^т * А^т;
3.Определители малых порядков. Свойства определителей.
1) если А и В – квадратные матрицы n*n, то:;
|AB|=|BA|=|A|*|B| ;
Замечание: АВ не равно ВА;
2) |А|=|А^т|;
4) определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.;
5) определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.;
6) определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. ;
7) определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.;
8) если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.;
9) если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.;
10) если какой-то ряд определителя содержит в себе общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.;
5.Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей.
теорема лапласа:
Определитель равен сумме произведения всевозможных миноров одного и того же порядка к (к<n), ктр. можно составить из произвольно выбранных к параллельных рядов на их алгебраическое дополнение.
Наиболее часто на практике применяется случай, когда к=1, тогда Т1 переходит в Т2:;
Т2 (о разложении определителя по элементам ряда):
определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.
6. Теорема замешения.
Сумма произведений произвольных n чисел d1, d2, ..., dn на алгебраические дополнения элементов некоторого ряда марицы порядка n равна определителю матрицы, которая получается из данной заменой указанного ряда на числа d1, d2, ..., dn
7. Теорема (аннулирования).
Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
8.Теорема о существовании обратной матрицы.
Всякая невыржденная матрица имеет обратную.;
9. Теорема о существовании единственной обратной матрицы
Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица.
А^-1=(1/(detA))*adjA;
Доказательство;
1. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица А^-1. Тогда
АА^-1=Е;
Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаем;
detA*detA^-1=1
и, следовательно, detA<>0;
Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц;
2. Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы, A^-1 и B^-1. Тогда
А*А^-1=А^-1*A=Е
и
А*B^-1=B^-1*A=Е;
Используем эти равенства для преобразования матрицы B^-1:
B^-1=B^-1*E=B^-1*A*A^-1=(B^-1*A)*A^-1=E*A^-1=A^-1;
что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.