Нормированной ачх называют соотношение

(3.6)

Из формулы 3.6 следует, что .

Для оценки вида АЧХ удобно пользоваться формулами экспресс-анализа, которые позволяют определить значения АЧХ на трех частотах

(3.7)

Рекурсивная цепь 2-ого порядка описывается передаточной функцией

(3.9)

Нули и полюсы H(z) определяются из решений уравнений

(3.10)

Из этих уравнений находятся:

1. Нули

(3.12)

Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные нули, в про­тивном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными нулями

(3.13)

где

2. Полюсы (3.14)

Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные полюсы, в противном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными полюсами

(3.15)

где

Импульсная характеристика цепи второго порядка при комплексно-сопряженных полюсах имеет вид

(3.16)

Как следует из выражения (3.16) слагаемое, у которого степень меньше нуля, равно нулю, поскольку рассматриваются только физически возможные цепи (у таких цепей реакция не может опережать воздействие).

Прямая структурная схема цепи второго порядка представлена на рисунке 3

X(n) b₀ Y(n)

b₁ - a₁

b₂ - a₂

Рисунок 3

Важным свойством цепи является ее устойчивость. Для устойчивости цифровой цепи второго порядка необходимо, чтобы все полюса передаточной функции находились внутри единичного круга z-плоскости, то есть | Z^* | < 1. Данное условие накладывает определенные ограничения на величину коэффициентов знаменателя передаточной функции рекурсивного фильтра. Для рекурсивного фильтра второго порядка с комплексно-сопряженными полюсами эти ограничения соответствуют

< < 2 и 0 < < 1 (3.17)

Цепи второго порядка в зависимости от соотношения коэффициентов могут обладать различной избирательностью: низкочастотной (НЧ), высокочастотной (ВЧ), полосовой (П), режекторной (Р).

Из передаточной функции (3.9) при получаются выражения для АЧХ и ФЧХ

; (3.18)

∙(3.19)

Для определения избирательности цепи необходимо уметь строить АЧХ по характерным точкам, к которым обычно относят значения АЧХ на следующих частотах:

.

Последние две частоты соответствуют фазам нуля и полюса , при этом максимум АЧХ находится приблизительно на частоте .

Для оценки вида АЧХ удобно пользоваться формулами экспресс-анализа для вычисления АЧХ и ФЧХ на трех частотах:

(3.20)

Для оценки минимума и максимума АЧХ необходимо произвести вычисления при и