4. Друга похідна та її фізичний зміст.

Похідна від першої похідної називається другою похідною і позначається

, ,

Друга похідна від по дорівнює прискоренню в заданий момент часу .

5. Застосування похідної.

1. Зростання та спадання функції.

Теорема про необхідні та достатні умови зростання та спадання функції на проміжку:

Якщо, функція диференційована на і , для , то функція на цьому проміжку зростає, а якщо для , то функція на цьому проміжку спадає.

Схема дослідження функції на монотонність:

1) Знаходимо ;

2) Знаходимо критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує);

3) Критичні точки ділять на проміжки монотонності;

З кожного проміжку виберемо довільну точку і підставимо її в похідну, якщо , то функція зростає на цьому проміжку, якщо , то функція спадає на цьому проміжку.

2. Екстремуми функції.

Основні означення:

Точка називається точкою максимуму функції , якщо для виконується умова .

Значення функції в точці максимуму називається максимумом функції і позначається .

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо для виконується умова .

Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції і позначається .

Мах і тіn функції називається екстремумом функції.

Необхідна умова існування екстремуму:

Теорема Ферма:

Якщо точка екстремуму функції і функція в цій точці має похідну, то .

Достатня умова екстремуму.

Теорема Роля.

Якщо при переході через критичну точку похідна неперервної функції змінює знак, то функція в цій точці має екстремум, якщо:

1) з "+" на "-", то - точка максимума;

2) з "-" на "+", то - точка мінімума.

Схема дослідження функції на екстремум:

1. Знаходимо критичні точки першого роду.

2. Розміщуємо критичні точки в порядку зростання. підставляємо в похідну любе число менше , потім більше , але менше . Якщо при цьому знак похідної змінюється з "+" на "-" , то функція при має максимум, якщо з "-" на "+", то функція при має мінімум.

3. Обчислюємо тобто знаходимо максимальне значення функції.

3. Точки перегину.

Графік функції , називається опуклим на , якщо графік розміщений нижче любої дотичної, проведеної до графіка функції в точках .

Графік функції , називається вгнутим на , якщо графік розміщений вище любої дотичної, проведеної до графіка функції в точках .

Достатня умова опуклості графіка функції:

Теорема. Якщо функція двічі диференційована на , і для , то графік функції вгнутий, якщо для , то графік функції опуклий.

Необхідна умова існування точка перегину.

Теорема. Якщо функція має неперервні похідні до другого порядку на і , являться точкою перегину, то .

Достатня умова.

Теорема. Якщо функція , , двічі диференційована на і при переході через друга похідна змінює знак, то точка кривої з абсцисою являється точкою перегину.

Схема дослідження функції на перегин.

1. Знаходимо критичні точки другого роду.

2. Розміщуємо критичні точки в порядку зростання підставляємо в другу похідну любе число менше , потім більше , але менше . Якщо при цьому друга похідна змінює знак, то при маємо точку перегину.

3. Обчислюємо тобто знаходимо перегин.

4. Друге правило дослідження на екстремум.

Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю, . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

5. Асимптоти кривої.

називається похилою асимптотою кривої при , якщо , Якщо , то горизонтальна асимптота, називається вертикальною асимптотою, якщо або .

6. Загальна схема дослідження функції та побудова графіка.

1. Знаходимо ;

2. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат (якщо це можливо);

3. Досліджуємо на парність і непарність, парна, непарна;

4. Досліджуємо на монотонність та екстремум;

5. Досліджуємо на перегин;

6. Знаходимо асимптоти кривої;

7. Будуємо графік.

7. Рівняння дотичної до графіка функції в заданій точці.

Схема:

1. Знаходимо ;

2. Знаходимо ;

3. Складаємо рівняння,

8. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Нехай функція неперервна на сегменті . Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на сегменті , необхідно:

1. Знайти критичні точки першого роду;

Обчислити значення функції в критичних точках, які належать , і в кінцях сегменту. Вибрати серед цих значень найбільше та найменше значення функції.