Вопрос 31.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций.При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственыи числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.

При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.

Угловая скорость. Угловая скорость  вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :

 = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt

 t  0

Обычно угол измеряется в радианах, время – в секундах, угловая скорость – в радианах в секунду.

Отметим важный факт: так как при вращении тела все точки тела за одно и то же время поворачиваются на один и тот же угол, то угловая скорость вращения любой точки тела одна и та же. Поэтому обычно говорят не об угловой скорости какой-то конкретной точки тела, а об угловой скорости тела вообще.

Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δ φ , то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δ s = R Δ φ . Разделив обе части последнего уравнения на Δ t, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью  вращения:

 s/ Δ t = R Δ φ / Δ t

или

V = R

Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.

Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью  , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е. угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:

 = lim Δ  / Δ t = d /dt

 t  0

Если Δ   0, то угловая скорость возрастает, угловое ускорение положительно; при

   0 угловая скорость убывает и угловое ускорение отрицательно.

Частный случай вращения – вращение с постоянным угловым ускорением – равноускоренное или равнозамедленное вращение:

 = const

В этом случае угловая скорость вращения меняется по закону:  (t) =  _o +  (t – t_o), где  _o – начальная угловая скорость в момент времени t_o. Если t_o = 0, то

 (t) =  _o +  t

Угол поворота φ в момент времени t в этом случае будет равен:

 (t) = φ _o +  _o (t – t_o) +  (t – t_o)²/2 .

При t_o = 0 имеем:

φ(t) = φ_o + _ot + t² / 2

Здесь φ _o – угол поворота в начальный момент времени.

Кинетическая энергия.

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей – через υ_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде: 

Физическая величина   зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси: 

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде 

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела   только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.Момент импульса обозначается буквой L: 

L = Iω.

Поскольку   уравнение вращательного движения можно представить в виде: 

Окончательно будем иметь: