Макроскопическая электродинамика

С общих позиций Э. случай электрон-позитронного вакуума и даже плазмы во внеш. полях является не более чем характерным примером среды. В общем случае при наличии большого числа заряж. частиц (связанных или нет), возможность описания движения каждой из к-рых ограничена, хотя бы в силу квантово-статистич. законов, ур-ния Максвелла представляются стохастическими, описывающими эл.-магн. поля как случайные ф-ции координат и времени. Стохастическими являются и ур-ния движения вещества (зарядов среды), в частности материальные соотношения, характеризующие отклик на эл.-магн. поле, т. е. представляющие плотность тока как функционал поля: . Последний может быть нелинейным и нелокальным (интегродифференциальным) и, вообще говоря, определяется независимыми от Э. закономерностями устройства среды.

Макроскопические уравнения. Флуктуации обычно отходят на второй план при наличии достаточно большого кол-ва однотипных частиц на масштабе изменения поля. Тогда без существенных потерь информации об эл.-магн. процессах можно провести квантово-статистич. усреднение ур-ний (6), (7) (без магн. зарядов) и материальных соотношений, записав их как ур-ния макроскопич. электродинамики Для средних полей и токов:

На резких границах раздела в среде необходимы граничные условия для нормальных (n) и тангенциальных (t) компонент полей

Они вместе с выражениями для поверхностных плотности заряда а и тока i через j получаются из (23) предельным переходом (n -нормаль к границе раздела, направленная из первой во вторую часть среды). Здесь для определённости пространство-время предполагается плоским, а вакуум- однородным и изотропным, используется инерци-альная система отсчёта, к.-л. образом связанная со средой в целом. Все свойства среды, за исключением сторонних зарядов r _ст и токов j _ст, включены в новое поле электрич. индукции D ^п(t, r)[или полной электрич. поляризации P ^п(t, r)] и задаются функционалом j { Е, В}. В линейной Э. соответствующее материальное ур-ние имеет вид

учитывающий временную (частотную) и пространственную дисперсии, т. е. запаздывание и нелокальность эл.-магн. отклика среды (см. Диспергирующая среда). Эти явления обязаны, напр., собственным молекулярным колебаниям и конечности межатомных расстояний в твёрдом теле или длины свободного пробега ионов и электронов в плазме. Система (23)-(25) обладает полнотой, позволяя однозначно определить поля в любой области среды V, если для них заданы необходимые начальные и граничные условия; для учёта влияния среды вне рассматриваемой области V на процессы внутри неё на её границе 2 требуется ставить нелокальные, интегральные условия.

При таком подходе макроскопич. поля и движение отд. частиц среды выпадают из рассмотрения. Так, в отсутствие дисперсии, согласно Ома закону jⁱ =s^ilE_l , плотность тока в проводнике при учёте только свободных зарядов полностью определяется тензором его проводимости s^il и средним электрич. полем E_l . В соответствии с этим иногда делают дополнит. приближения. Скажем, в электростатике поле внутри проводника считается равным нулю, а свободные заряды - сосредоточенными только на его поверхности, хотя в действительности они отличны от нуля, по крайней мере в тонком поверхностном слое. Аналогично в магнитостатике сверхпроводников 1-го рода вследствие Мепснера эффекта предполагается невозможным существование объёмных внутренних плотностей тока и магн. поля, хотя они заведомо имеются в поверхностном слое конечной толщины (см. также Скин-эффект, Леонтовича граничное условие). Подобные дополнит. приближения не обязательны, поскольку ур-ния (23) позволяют учесть сколь угодно резкие изменения полей в пространстве и во времени, если в них не проведено усреднение по физически бесконечно малым объёму и интервалу времени. Последняя операция, часто используемая со времён Лоренца (1902), ведёт к более грубому пренебрежению флуктуаци-ями, чем статистич. усреднение, и может ограничивать возможности анализа пространственной и частотной дисперсии сред, напр. динамики поверхностных поляритонов. Что касается возможного отличия действующего на заряды поля Е_g от среднего Е (т. н. поправки Лоренца, равной, напр., Е_g - Е=4p Р ^п/3в кубич. кристалле или в газе нейтральных молекул), то в обоих способах усреднения оно предполагается принятым во внимание при микроскопия, выводе материальных соотношений благодаря учёту корреляций взаимного расположения частиц и их взаимной непроницаемости.

Дисперсионные и энергетические соотношения. В стационарной однородной среде удобно перейти к фурье-образам полей, получая, в частности, из (25)

Полный тензор диэлектрической проницаемостиe ^п_lj учитывает не только электрич., но и магн. свойства среды, т. е. влияние индукции В на D ^п. Он обладает определ. свойствами симметрии (см., напр., Анизотропная среда, Гиpo-тропная среда), а также аналитичности - как комплексная ф-ция своих комплексных аргументов w и k. Напр., согласно принципу причинности в устойчивой, в частности равновесной, среде при k 0 тензор e ^п_lj(w, k 0) не имеет полюсов в верх. полуплоскости lmw>=0 для диэлектриков, имеет простой полюс 1/w для проводников и полюс второго порядка 1/w² для сверхпроводников. При k 0 сказанное заведомо справедливо лишь в отношении обратного тензора (e ^п_lj)^-1 (w, k), связывающего поле Е с вызывающей его индукцией D ^п, к-рой можно независимо, в отличие от Е, управлять путём изменения внеш. зарядов r _ст(t, r) (Д. А. Киржниц, 1976). Отсюда можно прийти к дисперсионным соотношениям, связывающим вещественную и мнимую части e ^п_lj(w, k 0) [или (e ^п_lj)^-1(w, k)]. Существуют и др. феноменологич. соотношения и ограничения на возможный вид тензора проницаемости. Так, поскольку для монохроматич. волны E=Re [ Е₀ ехр (- iwt + ikr)]. свещественными w и k тепловая энергия, выделяющаяся в единице объёма за единицу времени ( джоулееы потери), равна Q ^п = (w/8p) [Ime ^п_lj(w, k)]^.E ^j₀E*^l₀, то в равновесной среде в соответствии с принципом возрастания энтропии должно быть Q ^п>0 (при w>>0) для любого комплексного Е₀,

Справедливость указанного определения Q ^п в условиях изменения общей энергии среды и поля за счёт работы сторонних источников становится ясной, если усреднить по достаточно большим объёмам и интервалам времени вытекающее из (23) соотношение Пойнтинга:

Без микроскопич. анализа энергетич. смысл членов в (27) для диссипативной среды является, вообще говоря, неоднозначным. Лишь в прозрачной среде для квазимоно-хроматич. пакета однородных волн можно заранее указать ср. плотность энергии и её поток, а также групповую скорость волн u _гp = S/w[Л. Бриллюэн (L. Brillouin), 1921; М. Е. Герценштейн, 1954]

При этом даже в однородной изотропной немагнитной среде без пространственной дисперсии, когда D ^п₀ = e ^п(w)E₀, на единицу объёма среды действуют не только сила Лоренца со стороны внеш. зарядов и токов и по-ндеромоторная сила, связанная с пространственной неоднородностью полей, но ещё и т. н. сила Абрагама (см. также Максвелла тензор натяжений), обусловленная нестационарностью полей,

(X. Вашини, В. И. Карпман, 1976).

Поляритоны (светоэкситоны). При учёте пространственной дисперсии в ур-ниях Максвелла для фурье-образов полей при замене (25) на (26) необходимо указать ещё дополнит. граничные условия, обусловливаемые физ. свойствами поверхности среды (С. И. Пекар, 1957; В. Л. Гинзбург, 1958) (см. Кристаллооптика). Эти условия определяют, в частности, эффективность возбуждения в ней разл. нормальных волн (поляритонов), в т. ч. поперечных (E | k )и продольных (E||k, D = B =0)(см. Плазмон). Дисперсия k _а = k_a(w) или w_a= w_a(k), а также поляризация E_a(k )и групповая скорость u _гр=dw_aldk всех этих волн ( а=1, 2, 3, ...), согласно (23), находятся из однородной системы алгебраических ур-ний [w² с~²e ^п_lj(w, k) - -k²d_ij + k_ik_j]E ^j(w,k) =0. Для решения разл. задач, напр. об излучении сторонних источников или о развитии неустойчивости волн в неравновесной среде, широко применяется т. н. гамильтонов метод анализа поля излучения, основанный на его разложении по нормальным волнам (В. Л. Гинзбург, 1940).

Без учёта пространственной дисперсии, т. е. зависимости e ^п_lj от волнового вектора k, при решении граничной задачи остаются, как и в вакууме, только две, различающиеся поляризациями Е_{0, е} , обыкновенная ( а = о )и необыкновенная ( а = е )волны k_{0, e}(w) (см. Френеля уравнение), а также продольные колебания на дискретных частотах, для к-рых dete ^п_lj(w_||)=0. При решении начальной задачи имеющаяся частотная дисперсия e ^п_lj(w) сказывается более явно и поэтому даже в изотропной среде благодаря поляризац. вырождению k₀(w) = k_e(w)может быть неск. дисперсионных кривых w _а(k )-в соответствии с числом разл. свободных самосогласованных колебаний зарядов среды и поля с заданными волновым k и поляризационным Е векторами. На рис. 3 приведён схематич. вид спектра нормальных волн в случае материального соотношения

отвечающего модели изотропной среды практически неподвижных молекул с двумя энергетич. состояниями , , их населённостями п₁ и n₂, концентрацией N, электрич. дипольным моментом перехода d с временем некогерентной релаксации Т₂. Модель (28) лежит в основе квантовой электроники: при инверсии населённостей (n₁ <п₂ )активных энергетич. уровней молекул образца среды в зависимости от скоростей релаксации поляризации Р ^п и поля Е возникает неустойчивость одной из двух волн w_1,2(k), ведущая к мазерной генерации (Imw₁>0; см. Лазер )либо к сверхизлучению Дикке (R. Dicke) (Im w₂>0).

Рис. 3. Качественный вид дисперсионных кривых нормальных волн в среде, состоящей из двухуровневых молекул - осцилляторов.

Магнитная и электрическая восприимчивости. В Э. сплошных сред часто используется отличная от (23), более симметричная форма ур-ний. Она основана на выделении тока проводимости "свободных" зарядов j₀ (посредством введения к.-л. тензора проводимости) и намагниченности М', позволяющей ввести новый вектор напряжённости магн. поля H(t, r) = В-4p М' и новые тензоры магнитной проницаемости (t, t', r, r' )и m_ij(w, k), играющие в ф-лах вида (25), (26) роль, аналогичную вектору Е и переопределённым тензорам и e_ij соответственно. В результате полная плотность тока разлагается на 3 части: j{E,B}=j₀ + crotM' + д P'/дt, а индукция магн. поля В становится аналогичной вновь переопределённой индукции электрич. поля D=E+4pP', выражающейся через "оставшуюся" поляризацию Р' (электрич. дипольный момент единицы объёма).

В условиях пространственной дисперсии среды, не говоря уже об её нелинейности, макроскопич. процедура выделения j₀, М', Р' и введения новых по старым , e ^п_ij неоднозначна. Это обстоятельство обуслов-лено невозможностью строго разделить замкнутые и незамкнутые токи или токи "свободных" и "связанных" зарядов, особенно для эл.-магн. полей с характерными масштабами, к-рые не могут считаться большими по сравнению с размерами области локализации "связанных" зарядов, напр. электронов в молекулах. Причиной неоднозначности может служить релятивистская взаимосвязь Р' с М' или Р' с j₀, скажем, в многокомпонентной среде при наличии неск. потоков зарядов в каждом элементарном объёме dV. Даже в простейшем случае непроводящей изотропной (негиротропной и немагнитоактивной) линейной однородной стационарной среды, где общее выражение для полной проницаемости суть

(e_| и e_|| -диэлектрич. проницаемости среды соответственно в случаях, когда Е перпендикулярно и параллельно k), связь прежних фурье-образов D ^п_i =e ^п_ijE ^j можно заменить, напр., на две эквивалентные пары новых связей (А. М. Игнатов, А. А. Рухадзе, 1981):

Тем не менее в известных приближениях определённое разделение удаётся провести либо из микроскопич. соображений, либо за счёт дополнит. условий в к.-л. частных случаях.

Движущиеся среды. Для указанного разложения j {E, В} ур-ния (23) принимают вид

В ( Т )включены ещё эфф. магн. заряды и токи, иногда используемые, напр., для удовлетворения определ. граничным условиям при описании свойств неоднородных сред или при переходе во вращающуюся систему отсчёта с целью отыскания решений граничных задач путём применения двойственности перестановочной принципа (преобразований дуальности Лармора - Пистолькорса), обобщающего (10) на случай макроскопич. Э. Ур-ния (6'), (7') сохраняют свой вид при переходе в произвольную инерци-альную систему отсчёта (относительно к-рой среда равномерно движется с локальной скоростью и), если учесть релятивистские преобразования токов j^a₀, j^a _ст, и полей (2). Поля D и Н преобразуются аналогично полям Е и В соответственно и образуют тензор индукции Н_ab, аналогичный F_ab (Г). Поэтому ур-ниям (6'), (7') можно придать релятивистски ковариантную форму:

Однако в общем случае, в отличие от силы Лоренца в вакууме (1') или (11), заменяющие её материальные соотношения не обладают релятивистской ковариантностью, поскольку явно выделена локально инерциальная система отсчёта, связанная со средой. Ситуация упрощается в среде без пространственно-временной дисперсии, имеющей вещественные проницаемости и проводимости, для простоты предполагающиеся изотропными в этой системе отсчёта:

В произвольной системе отсчёта эти материальные соотношения принимают вид [Г. Минковский (G. Minkowski), 1908]

Их явная ковариантность устанавливается эквивалентной формой записи (И. Е. Тамм, 1924; М. И. Рязанов, 1957; Б. М. Болотовский, С. Н. Столяров, 1977)

Соответствующим образом меняются и граничные условия (24). Напр., в отсутствие поверхностных зарядов и токов на границе раздела сред, движущейся с локальной скоростью u', наряду с нормальными компонентами индукций D, В должны быть непрерывны тангенциальные компоненты векторов

Электромагнитные взаимодействия в среде. Неоднородное движение среды или движение одних элементов среды относительно других нарушает её изотропию и равновесность, делает возможными неустойчивость и усиление эл.-магн. волн за счёт кинетич. энергии вещества (см., напр., Неустойчивости плазмы), видоизменяет потенциалы Лье-нара - Вихерта, в частности кулоновское поле покоящегося заряда, а при наличии временной дисперсии частично переводит её в пространственную (и наоборот). Уже в покоящейся среде собственное поле и поле излучения к.-л. источников, напр. движущихся заряж. частиц, могут качественно отличаться от поля в вакууме, даже если отвлечься от их непосредств. столкновений с частицами среды, вызывающих искривление траекторий, ионизац. потери и др. Дело в том, что наряду с колебаниями эл.-магн. поля неизбежно должны возбуждаться самосогласованные колебания зарядов в среде; в частности, излучаться могут только нормальные волны. Так, на тормозное излучение, эл.-магн. массу, эфф. заряд и радиац. трение быстрой частицы принципиально влияет вызываемая её движением переполяризация среды (Э. Ферми, 1940). Эти явления наблюдаются, напр., при каналировании заряженных частиц в кристаллах или в газах. Обнаруживаются возможности Черенкова - Вавилова излучения, переходного излучения и ондуляторного излучения, аномального Доплера эффекта и др. особенности излучения монопольных, дипольных и мультипольных конфигураций зарядов. Изменяется характер распространения излучения, в т. ч. геом. оптика и дифракция, особенно в нестационарной и неоднородной среде. В результате меняется эффективность взаимодействия зарядов.

Ситуация может усложняться нелинейными свойствами эл.-магн. волн и их взаимодействий с частицами, а также разл. процессами рассеяния на упругих, тепловых и др. неэлектромагн. возбуждениях среды. Скажем, возможно нелинейное черепковское излучение под действием короткого импульса сильного эл.-магн. поля, возбуждающего на своём пути нелинейную поляризацию среды в отсутствие к.-л. сторонних зарядов и токов (см. также Электродинамика движущихся сред).