Виды математических функций30, используемые при выравнивании

Название функции	График функции	Формула
Прямая линия		(2)
Парабола 2-го порядка	и ли	(2)
Гипербола		(2)
Показательная		(2)
Степенная		(2)
Ряд Фурье		(2)

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется на основании графического изображения эмпирических данных. Если по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно описать одной функцией, следует разбить анализируемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой.

Нередко один и тот же ряд можно выровнять по разным аналитическим функциям и получить довольно близкие результаты. В нашем примере про ВО России можно произвести выравнивание и по прямой линии, и по параболе. Чтобы решить вопрос о том, использование какой кривой дает лучший результат, обычно сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических (остатки), рассчитанным по разным функциям, то есть:

. (2)

Та функция, при которой эта сумма минимальна, считается наиболее адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров. Если же число параметров k разное, то каждую сумму квадратов делят на разность (n – k), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы).

Параметры искомых уравнений (a₀, a₁, a₂, ...) при аналитическом выравнивании могут быть определены по-разному, но наиболее распространенным методом является метод наименьших квадратов (МНК). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней y от теоретических уровней :

. (2)

В частности, при выравнивании по прямой вида (2) параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (2) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

(2)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда³¹. Например, при нечетном числе уровней серединная точка времени (год, месяц) принимается за нуль, тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней (как в нашем примере про ВО России – 7 уровней) два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д. (см. 3-й столбец табл. 29).

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений (2) упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(2)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр a₀ представляет собой средний уровень равномерного интервального ряда, то есть формулу (2). Определим по формуле (2) параметры уравнения прямой для нашего примера про ВО России, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в табл. 29.

Табл. 29