13.Таблица эквивалентности. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых. Примеры.
, где ;
, где ;
, поэтому используют выражение:
, где
Теорема
Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
Примеры использования
Найти
Заменяя эквивалентной величиной , получаем
Найти
Так как при получим
Вычислить .
Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.
14.Непрерывность функции. Примеры.
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
ε-δ определение
Пусть
и
.
Функция
непрерывна
в точке
,
если для любого
существует
такое,
что для любого
Функция
непрерывна
на множестве
,
если она непрерывна в каждой точке
данного множества.
В
этом случае говорят, что функция
класса
и
пишут:
или,
подробнее,
.
Комментарии
Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции
.Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.
Точки разрыва
Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда
точка
называется
точкой
устранимого разрыва
функции
(в
комплексном
анализе
— устранимая
особая точка).
Если
«поправить» функцию
в
точке устранимого разрыва и положить
,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
Функция с устранимым разрывом
Функция
задаваемая
формулой
непрерывна
в любой точке
Точка
является
точкой устранимого разрыва, ибо предел
функции
