11. 2 Замечательный предел.

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений. Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность -возрастающая, при этом (2)

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство:

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому ( 3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая!

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

Доказательства следствий

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

12. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая величина

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .

• Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .

• Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как или (в силу симметричности данного отношения).

• Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

• При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .

• то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи и

• При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• 

• 

• 

• , где ;

• 

• , где ;

• 

• 

• , поэтому используют выражение:

, где .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

] Примеры использования

• Найти

Заменяя эквивалентной величиной , получаем

• Найти

Так как при получим

• Вычислить .

Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.