8.Основные теоремы о пределах.
Лемма1.
Если ф-ия имеет в т. еонечный предел,то
её можно представить как сумму предела
и бм ф-ии в этой т., т.е.
Лемма2.(обратная)Если
ф-ию f(x)
можно представить как сумму числа А и
некоторой бм ф-ии
при х→а, то число А является пределом
ф-ии f(x) в
этой точке.
Теорема.
Если существуют пределы
и
,
то ф-ии f(x)±ϕ(x)
также имеют пределы при х→а, равные
А±В.
Теорема.
Если существуют пределы
и
,
то ф-ии f(x)*ϕ(x)
также имеют пределы при х→а, равные
А*В.
Замечание. 1. Теорема справедлива для произведения конечного числа ф-ий, имеющих предел.
2. const можно выносить за знак предела
3. Предел степени равен степени предела.
Теорема.
Если существуют пределы
и
,
В≠0 то ф-ии f(x)/ϕ(x)
также имеют пределы при х→а, равные
А/В.
Теорема
«О двух полицейских». Пусть даны три
ф-ии ϕ(х), f(x),
g(x). ϕ(х)≤
f(x)≤ g(x)
при х→а, тогда, если выполняется
равенство:
,
то ф-ия f(x),
заключённая между ними, имеет такой же
предел.
Теорема По замене переменной.
Пусть
существуют конечные или бесконечные
пределы:
пусть,
кроме того, в некоторой проколотой
окрестности т. а f(x)≠b,
тогда в т. а существует предел сложной
ф-ии F(f(x)),
то
9. Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin а; при х →∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В. таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между двумя функциями (ϕ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
lim ϕ(х) = A, lim g(х)= А,
X→Хо х→Хо
ϕ(x) ≤ f(x) ≤ g(х),
то
lim f(x) = А.
X→Xo
Теорема
(о пределе монотонной функции). Если
функция f(x)
монотонна
и ограничена при х
< xo
или при х
> хо,
то существует соответственно ее
левый предел
или
ее
правый предел
Следствие Ограниченная монотонная последовательность хп, п € N, имеет предел.
10. Первый замечательный предел
10. 1 Замечательный предел.
При
вычислении пределов выражений, содержащих
тригонометрические функции, часто
используют предел
называемый первым замечательным
пределом. Читается предел отношения
синуса к его аргументу равен единице,
когда аргумент стремится к нулю
Рассмотрим
односторонние пределы:
и
И
докажем, что они равны 1. Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности.
(R=1).
Точка K — точка пересечения луча с
окружностью, а точка L — с касательной
к единичной окружности в точке (1;0). Точка
H — проекция точки K на ось OX. Очевидно,что:
(1) где:
-площадь сектора
ОКА.
(из
:
)
Подставляем в (1), получаем
Так
как при
Умножаем
на
.
Перейдем к пределу:
Найдем левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствие:
Следствия
Доказательства
