6. Бесконечно большие (бб) ф-ии. Основные определения и свойства.

Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х —> xq, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < \х—Хо| < δ, выполняется

неравенство, \f{x) \ > М. Записывают lim f(x) = ∞ или f(x) →∞ при х→Х0

Например, функция у =1/(х-2) есть б.б.ф. при х → 2.

Если f(x) стремится к бесконечности при x -> Xo и принимает лишь положительные значения, то пишут lim f(x) = +∞; если лишь

отрицательные значения, то lim f(x) = —∞.

Функция у = f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х →∞, если для любого числа М > О найдется такое число N = N(M) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > N, выполняется неравенство |f(х)| > М.

Например, у = 2^х есть б.б.ф. при х →∞.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принима­ет лишь натуральные значения, т. е. х € N, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, по­следовательность v_n = п² + 1, п € N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки хо является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у = xsinx.)

Однако, если lim f(x) = А, где А — конечное число, то функция

Х—^Хо ^L

f(x) ограничена в окрестности точки xq.

Действительно, из определения предела функции следует, что при х —> хо выполняется условие \f(x) — А\ <ε. Следовательно, А — ε < f(x) < А + ε при х € (хо — ε; хо + ε), а это и означает, что функция f(x) ограничена.

7.Бесконечно малые функции (бм). Основные определения и свойства

Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х —> хо,

(17.1)

lim f(x) = 0.

Х→zО

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для лю­бого числа е > 0 найдется число 5 > 0 такое, что для всех х, удо­влетворяющих неравенству 0 < \х — хо\ <6, выполняется неравенство |/(ж)| < е.

Аналогично определяется б.м.ф. при х —» хо + 0, х —> xq — О, х —> +оо, х —> —оо: во всех этих случаях f(x) —» 0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами а, /? и т. д.

Примерами б.м.ф. служат функции у = х² при х —ь 0] у = х — 2 при х 1] у — sin х при х —> пк, к 6 Ъ.

Другой пример: х_п = п £ N, — бесконечно малая последова­тельность.

Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение ограниченной функции на бесконечно

малую функцию есть функция бесконечно малая .

Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция беско­нечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско­нечно малая.

Теорема 17.4. Если функция α(х) — бесконечно уалая (α ≠ 0), то функция 1/α(x) ^есть бесконечно большая функция и наоборот: если

функция f(x) — бесконечно большая, то 1/f(x)— бесконечно малая.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х →x0, они справедливы и для случая, когда x→∞.