1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция х = \у-.

2. Для функции у = х², х G [0; 1], обратной функцией является х = у/у\ заметим, что для функции у = х², заданной на отрезке [—1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна­чения х (так, если у = то х\ = хг = — ^).

3. Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция /(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат­ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ­ция также возрастает (убывает).

4. Сложная функция

5. g Пусть функция у = у (и) определена на множестве D, а функция и = tp(x) на множестве D\, причем для Vx € D\ соответствующее значение и = <р(х) € D. Тогда на множестве Di определена функция и = f(ip(x)), которая называется сложной функцией от х (или су­перпозицией заданных функций, или функцией от функции).

6. Переменную и = <р(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

7. Например, функция у = sin 2а: есть суперпозиция двух функций у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме­жуточных аргументов.

4.Способы задания ф-ий.

Пусть задана функция / : X —» Y.

|@| Если элементами множеств X и Y являются действительные числа

(т. е. X С К и Y С К), то функцию / называют числовой функ­цией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у = f(x).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от ж).

Аналитический способ задания функции является наиболее совер­шенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосред­ственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений ар­гумента и соответствующих значений функции. Например, известные

таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.. '

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

5.Предел ф-ии. Геометрический смысл.

Предел функции в точке

Пусть функция у — f(x) определена в некоторой окрестности точки xq, кроме, быть может, самой точки хо.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции у = f(x) в точ­ке хо (или при х —» Хо), если для любой последовательности допусти­мых значений аргумента х_п, п € N (х_п≠ Хо), сходящейся к хо (т. е. lim х_п = хо), последовательность соответствующих значений функ-

ции f(x_n), n € N, сходится к числу А (т. е. lim f(x_n) = А).

В этом случае пишут lim f(x) = А или f(x) -» А при х→хо­

Геометрический смысл предела функции: lim f(x) = А означает, что

х->х₀

для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (по Коши). Число А на­зывается пределом функции в точке хо (или при х —> хо), если для любого положительного е найдется такое положительное число δ, что для всех х≠ хо, удовлетворяющих неравенству |х — хо| < δ, вы­полняется неравенство \ f(x) — А\ <ε.

Записывают lim f(x) = А.

Геометрический смысл предела функции: А = lim f{x), если для

любой ε-окрестности точки А найдется такая (δ-окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f{x) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограни­ченной прямыми у = А + ε, у = А —ε (см. рис. 110).. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ = δ(ε).

Пример. Доказать, что lim (2х — 1) = 5.

х->3

Решение: Возьмем произвольное ε > 0, найдем δ = (δ(ε) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству \х — 3| < δ, выполняется неравенство |(2х —1) —5| <ε, т. е. |х — 3| < ε/2. Взяв δ = ε/2, видим, что для

всех х, удовлетворяющих неравенству \х — 3| < δ(= ε/2), выполняется неравенство |(2х — 1) — 5| < ε. Следовательно, lim (2х - 1) = 5.