48.Геометрические приложения определенного интеграла (длина дуги).Пример.

Вычислить длины дуг плоских кривых:

 

а) ; б) ;

 

в) , .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как

 

То

.б) Воспользуемся формулой (11). Так как , то .

в) .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x)  интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси OX.

Решение. найдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему:

 

 

 

Получим две точки пересечения:

х₁ = 1, у₁ = 1; х₂ = 2, у₂ = 0.

 

.

 

Рис. 20

 

П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 

; z = 0; z = 3.

 

Решение.  однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы (рис. 20) с полуосями , . Как известно, площадь эллипса

 

 

5. Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь

 

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями причем , то

 

5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

П р и м е р 23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x² + y² = R² вокруг оси OX

Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части.

Найдем и Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса

49.Несобственный интеграл первого рода. Пример.

Предположим, что функция f(x) задана на бесконечном промежутке вида [a;+∞] и интегрируема на любом конечном отрезке [a;b] , где . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится).

Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае , величина несобственного интеграла означает, по определению, площадь бесконечно длинной области , лежащей в координатной плоскости между лучом на оси , графиком и вертикальным отрезком (см. рис.).

Рис.4.1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально:

Пример.

Вычислим значение интеграла

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

а потом вычислить предел

Итак,

(напомним, что ) и

Получили, что интеграл сходится и его значение таково: