1. Множество. операции над множеством. Множество – совокупность (собрание, класс, семейство) некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку. Элемент – объект, из которых состоит множество.

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин­ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне­ния х² + 2х + 2 = 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элемен­тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами а,Ь,...,х,у,...

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно­жеств обозначают АпВ (или A-В). Кратко можно записать АС\В = {х : х € А и х £ В}. <

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко­торые простейшие логические символы:

а => (3 — означает «из предложения а следует предложение 0»; а <=> /3 — «предложения а и 0 равносильны», т. е. из а следует /3 и из /3 следует а;

V — означает «для любого», «для всякого»;

3 — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

— «соответствие».

Например-. 1) запись \/ж € А : а означает: «для всякого элемента х € А имеет место предложение а»;

2) (х ё АиВ) <*=>■ (я € А или х Е В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

2.Системы координат на плоскости

Под системой координат на плоскости понимают способ, по­зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система ко­ординат.

Прямоугольная система координат за­дается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и за­дан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба обычно берут одинако­вой для обеих осей. Эти оси называют ося­ми координат, точку их пересечения О — началом координат. Одну из осей называ­ют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на­правленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направлен­ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты).

Другой практически важной системой координат является поляр­ная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и еди­ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О и углом ip, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа г и ip называются полярными координатами точки М,

пишут M(r;ip), при этом г называют полярным радиусом, <р — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ограничить промежутком (—7г; 7г] (или О ip < 2п), а полярный радиус — [0;оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел г и ip, и обратно.

3. Функция. Классификация Функций.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя­зи) между элементами двух множеств.

|ф| Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие /, ко­торое каждому элементу х € X сопоставляет один и только один элемент у € Y, называется функцией и записывается у = f(x), х € X или / : X —> Y. Говорят еще, что функция / отображает множество X на множество Y.

Рис. 98

Например, соответствия / и д, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу х € X соответствует элемент у € Y. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции / и обо­значается £>(/). Множество всех у G Y называется множеством зна­чений функции / и обозначается E(f).

Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что при каждом х 6 D значение (х 4- Т) € D и f(x + Т) = /(х). При этом число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами будут также числа то • Т, где m = ±1; ±2,... Так, для у — sin х периодами будут числа ±27г; ±47г; ±б7г,... Основной период (наименьший положительный) — это период Т — 2тг. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x + Т) = f(x).

Обратная функция

Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и мно­жеством значений Е. Если каждому значению у € Е соответствует единственное значение х € D, то определена функция х = (р(у) с обла­стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция <р(у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: х = <р(у) = f~^l(y)- Про функции у = f(x) и х = ср(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х = <р(у), обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение /(х) = у относительно х (если это возможно).

Примеры: