3.3. Уравнения количества движения вязкой сжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса)

К массе жидкости, заключенной в элементарном параллелепипеде (рис. 3.2), применим второй закон сохранения – теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, занимает с течением времени новое положение и приобретает новую скорость. Изменение количества движения массы, заключенной в выделен­ном элементе, равно сумме импульсов действующих сил. На выде­ленный элемент действуют внешние и внутренние силы.

Внешние силы создаются физическими полями (гравитационным, центробежным, электромагнитным и т.п.).

Обозначим – суммы проекций единичных (т.е. действующих на единицу массы) сил внешних полей на координатные оси. Тогда соответствующие проекции импульсов полных массовых сил определяются как произведения единичных сил на массу час­тицы dxdydz и на время dt:

Внутренние силы возникают в движущемся потоке благодаря молекулярному взаимодействию вы­деленной частицы с окружающей ее средой: поверхностные нормальные силы давления и каса­тельные силы трения (вызываемые наличием вязкости). Определим составляющие поверх­ностных сил (рис. 3.2). Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, ог­раничивающей выделенный объем газа. На левую грань ABCD вдоль оси ОХ действует сила, импульс которой равен

.

Импульс силы, действующей на противоположную грань A'B'С'D', составляет

.

Результирующие импульсы внутренних сил, действующих на грани, перпендикулярные соответствующей оси, определяются по выражениям

.

Векторы могут быть ориентированы от­носительно граней параллелепипеда произвольно и представлены составляющими в виде

где – соответственно нормальные и тангенциальные (каса­тельные) проекции вектора на оси координат.

Тогда суммарный импульс внутренних сил

Данное уравнение определяет общее напряженное состояние выделенной частицы и показывает, что вектор импульса поверхностной силы определяется тремя нормальными и шестью касательными напряжениями. Значения касатель­ных напряжений, отличающиеся только порядком индексов, рав­ны

Коэффициентом пропорциональности для касательных напряжений является динамическая вязкость μ. Если направление вектора скорости не совпадает ни с одной из граней рассматриваемого элемента, касательные напряжения пропорциональны угловой скорости деформации сдвига:

Нормальные напряжения могут быть представлены в виде

Таким образом, все составляющие полного импульса внутренних сил определены.

Приравняем изменение количества дви­жения вдоль оси ОХ сумме импульсов внешних и внутренних сил

Аналогичные выражения справедливы и для двух других осей. После деления всех членов на массу элемента ρdxdydz получаем

(3.3)

С помощью уравнений (3.3) можно получить уравнения количества движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

(3.4)

Урав­нения (3.4) справедливы только для идеальной жидкости. В отличие от идеальной реальная жидкость обладает свойством вязкости, вследствие чего внутри жидкости существует трение и возникают касательные напряжения. В этом наиболее общем случае течения реальной жидкости уравнения (3.3) приводятся к виду (обозначим представленную систему уравнений 3.5)

Уравнения (3.5) являются наиболее общими уравнениями количества движения (им­пульсов) Навье-Стокса для вязкого сжи­маемого газа.

В левых частях этих уравнений содержатся проекции полного ускорения частицы на координатные оси, а в правых – три члена, выражающие единичные импульсы внешних и внутренних сил. Внутренние силы представлены составляющими силами нормального давления (др/дх, др/ду и др/дz) и силами трения, содержащими динамическую вязкость и выраженны­ми тремя составляющими, которые называются «вязкими» членами уравнений Навье-Стокса. Уравнения (3.5) содержат шесть неизвестных переменных величин (и, v, w, p, ρ, μ) и, следова­тельно, должны быть дополнены еще тремя уравнениями: уравнением неразрывности (3.2), уравнением состояния (1.1) и соот­ношением, определяющим вязкость (1.2).

Для решения системы уравнений 3.5 необходимо задать граничные и начальные условия. Начальные условия состоят в том, что поля скоростей, давлений и температур задаются для начального времени t_о. Они удовлетворяются, если решения уравнений при t = t_o обраща­ются в заданные функции координат. Начальные условия необходимо вводить только для неустановившегося движения. Граничные условия задаются на границах потока, т.е. на обтекаемой твердой поверхности. Они включают совокупность параметров невозмущенного потока. Граничные условия делятся на кинематические и динамические. К кинематическим относятся условия непроницае­мости обтекаемой поверхности и безотрывности ее обтекания, а также задание скорости невозмущенного потока на беско­нечном удалении от обтекаемого тела. Для вязкой жидкости используется условие отсутствия скольжения жидкости на стенке. Динамические граничные условия вклю­чают задание давлений на обтекаемой поверх­ности.

Уравнения (3.5) являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Для не­которых частных случаев эти уравнения упрощаются. Так, если принять, что динамическая вязкость не зависит от температуры и давления (μ = const), то