3.2. Уравнение неразрывности

В ыделим в движущемся газе элементарный объем в форме па­раллелепипеда (рис. 3.2) и запишем уравнение закона сохранения мас­сы во времени для этого элемента.

Закон сохранения массы

где ∆V – объем частицы; – плотность.

Продифференцируем это выражение при условии, что и ∆V – переменные величины:

Разделив на , получим уравнение не­разрывности

(3.1)

Здесь производная d∆V/dt выражает скорость объемной деформации жидкой частицы, а выражение (1/∆V)(d∆V/dt) представляет собой скорость относительной объемной деформации. В частном случае несжимаемой жидкости, когда = const, последнее уравнение принимает простую форму

,

выражающую условие постоянства объема элемен­та: скорость объемной деформации элемента равна нулю. Отсю­да следует, что частица несжимаемой жидкости деформируется в процессе движения так, что ее объем сохраняется неизменным.

Определим скорость относительной объемной дефор­мации частицы, выразив ее через соответствующие проекции скорости и, v и w. Предположим, что в пределах каждой из рассмат­риваемых граней параллелепипеда скорости постоянны. За время dt левая грань ABCD переместится на расстояние udt вправо. За тот же отрезок времени грань A'B'C'D' переместится в том же направлении на расстояние . Абсолютное изменение объема частицы по направлению оси х

Для других двух пар граней приращение объема частицы по осям у и z составляет

Полное изменение объема частицы определяется как сумма этих приращений. С учетом того, что объем элемента ∆V=dxdydz, скорость относительной объем­ной деформации равна

Подставив это выражение в уравнение неразрывности (3.1), получим

Производная плотности равна

Тогда

(3.2)

Это выражение является уравнением неразрывности в дифференциальной форме и называется уравнением Эйлера. Оно может быть записано в векторной форме

Если движение является установившимся, то = 0. Для несжимаемой жидкости

Уравнение Эйлера связывает измене­ние плотности с изменением составляющих скорости u, v и w и позволяет сделать вывод о том, что деформация частицы жидкой среды подчиняется опре­деленной закономерности и не может быть произвольной. Для газа уравнение не­разрывности связывает изменения объема и плотности частицы, для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности показывает, что ча­стицы при движении деформируются с сохранением объема.

Уравнение неразрывности записано в прямоугольной системе координат. Во многих случаях (например, при расчете движения газа в турбине) удобно пользоваться цилиндрической системой координат. Положение некоторой точки в цилиндрических коор­динатах определяется радиусом r, полярным углом и аппликатой z. Движение точки в цилиндрических координатах задано, если известны три составляющие скорости

C_r = dr/dt – радиальная составляющая скорости;

С =rd /dt – тангенциальная составляющая скорости (нормальная к ра­диусу);

w = dz/dt – осевая составляющая скорости.

Уравнение неразрывности в цилиндрических коорди­натах