1.2. Математический аппарат в механике жидкости и газа

Механика жидкости и газа является фундаментальной наукой, изучающей общие свойства жидкостей и газов при их движении без наложения ограничений. Уравнения движения газов при записи в математическом виде имеют сложную форму, поэтому перед изучением механики жидкости и газа следует вспомнить некоторые положения векторного анализа [19].

Полем какой-либо физической величины (например, скорости потока газа) называется пространство, в каждой точке которого эта величина однозначно определена. Если эта величина – скаляр, т.е. характеризуется только числовым значением, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).

Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точке пространства числовым значением и направлением. Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат обозначаются . Тогда вектор может быть представлен в виде

где , , – проекции вектора на соответствующие оси координат.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину

где a – угол между векторами и .

Скалярное произведение обращается в нуль, если векторы и взаимно перпендикулярны.

Векторное произведение двух векторов и

В теории поля рассматриваются операции: градиент, дивергенция и ротор (вихрь).

Градиент скалярной функции есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий:

Физически градиент – это вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Дивергенцией (расхождением) вектора называется выражение

Вихрь (ротор) вектора – это вектор, образующийся при выполнении операции

Физически неравенство нулю в какой-либо точке потока означает, что в этой точке наблюдается вращение элементарной частицы. Если , то поле является безвихревым.

Для операций градиента, дивергенции и ротора справедливы соотношения

и .

Операция называется оператором Лапласа для скалярного поля и имеет вид

Оператор Гамильтона записывается в виде

Действие оператора Гамильтона на скалярную функцию

Скалярное произведение оператора Гамильтона на вектор

Оператор Лапласа также может быть получен с помощью оператора Гамильтона

Вихрь (ротор) вектора с помощью оператора Гамильтона записывается в виде

1.3. Классификация сил в жидкости и газе

В механике жидкости и газа могут рассматриваются только распределенные силы, которые делятся на внутренние и внешние, которые в свою очередь делятся на массовые и поверхностные.

К внутренним силам относятся силы давления, силы внутреннего трения (возникающие вследствие вязкости) и внутренние нормальные силы (возникающие при деформации движущихся частиц).

Массовыми называют силы, действующие одновременно на все частицы жидкости; их значения пропорциональны массе рассматриваемого объема (сила тяжести, сила инерции, электромагнитные силы в магнитных жидкостях и т.п.). В механике жидкости и газа проекции единичных массовых сил на соответствующие координатные оси принято обозначать X, Y, Z.

Поверхностные силы действуют только на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема (например, сила поверхностного натяжения, сила трения о твердую стенку).

Под действием внешних поверхностных сил в жидкости возникают напряжения, численные значения которых зависят от ориентации выделенной на поверхности жидкости площадки в прост­ранстве.

Проекция вектора напряжения на направление нормали к выделенной площадке называется нормальным напряжением σ, а проекция на площадку – касательным напряжением τ.

Поверхностное натяжение жидкостей возникает вследствие взаимного притяжения молекул поверхностного слоя жидкости, притяжение между которыми больше, чем притяжение между молекулами жидкости и окружающего ее газа, плотность которого значительно меньше, чем плотность жидкости. Вследствие поверхностного натяжения жидкость, имеющая криволинейную поверхность, испытывает дополнительное напряжение, увеличивающее или уменьшающее давление в жидкости на величину

где σ – коэффициент поверхностного натяжения,

r₁, r₂ – радиусы кривизны рассматриваемого элемента поверхности.

Давление при выпуклой поверхности жидкости увеличивается, а при вогнутой – уменьшается. Особенно сильно поверхностное натяжение проявляет себя в трубках малого диаметра (капиллярных).

Для капли жидкости