10.3. Примеры решения задач
Пример 1. В качестве нагревательных приборов системы отопления использованы стальные трубы диаметром d1 = 0,1 м, которые приварены к торцам подводящих горячую воду труб диаметром d2 = =0,025 м. Кинематическая вязкость воды при температуре 80°С ν = =0,37·10-6 м2/с; плотность воды ρ = 972 кг/м3. Определить потери давления ΔР (соответствует величине Н на рис. 10.1) при внезапном расширении трубопроводов, если скорость воды в подводящей линии с1 = 0,3 м/с.
Решение. Число Рейнольдса в трубопроводах подводящей сети
т.е. поток в трубах турбулентный. Тогда потери давления определяются по формуле
Ответ. Потери давления при внезапном расширении трубопроводов составляют ΔР = 377 Па.
Пример 2. Две горизонтальные трубы d1 = 0,1 м и d1 = 0,15 м внезапно переходят одна в другую. Расход воды Q = 0,03 м/с. Плотность воды ρ = 972 кг/м3. Определить разность давлений ΔР в трубопроводах (соответствует величине Δh на рис. 10.1) при внезапном расширении трубы и при внезапном сужении трубы.
Решение. Рассмотрим два сечения потока – первое в трубе малого диаметра, параметры которого обозначаются индексом «1», а второе в трубе большого диаметра, параметры которого обозначаются индексом «2».
Потери напора при внезапном расширении трубы определяются по формуле
Определим скорости с1 и с2
Потери напора
Потери давления ΔР определяются из уравнения Бернулли, записанного для двух сечений потока.
откуда
При внезапном сужении потока обозначения сечений меняются – первым является сечение трубопровода большого диаметра. Тогда скорости потока соответственно равны
При внезапном сужении потока потери напора рассчитывается как
где скорость в трубе малого сечения с2 = 3,82 м/с.
Потери напора при внезапном сужении потока
Потери давления ΔР определяются, как и в предыдущем случае, из уравнения Бернулли, записанного для двух сечений потока
откуда
Ответ. Разность давлений в трубопроводах при внезапном расширении трубы ΔР = 3497 Па, а при внезапном сужении трубы разность давлений составляет ΔР = 3726 Па.
Контрольные вопросы
1. Какие виды гидравлических сопротивлений наблюдаются в трубопроводах?
2. Чем вызывается появление местных сопротивлений?
3. Зависит ли значение местных сопротивлений от числа Рейнольдса?
4. Какие бывают местные сопротивления?
5. Какое из местных сопротивлений вызывает наибольшие гидравлические потери?
6. Как уменьшить местные сопротивления при повороте потока?
7. От чего зависит значение местного сопротивления при внезапном расширении потока?
8. Как влияет закругление входной кромки трубопровода на значение местного сопротивления?
9. Какой трубопровод является диффузорным, а какой – конфузорным?
10. Как определяются местные сопротивления при ламинарном течении?
11. Чем объясняются потери при внезапном расширении потока?
Глава 11. Подобие газовых потоков
Уравнения механики жидкости и газа очень сложны и часто не поддаются интегрированию, поэтому при выполнении расчетов газовых потоков широко используются результаты аэродинамических экспериментов, выполняемых обычно с помощью аэродинамических труб. При этом требуется смоделировать исследуемый поток газа в аэродинамической трубе и полученные результаты перенести в реальный поток. Установление правил, на основе которых это можно сделать, является задачей теории подобия.
Два физических явления подобны, если отношения всех сходственных физических величин одинаковы в сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства. Подобные физические явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, причем каждый член одного уравнения равен соответствующему члену другого с множителем в виде постоянного числа, одинакового для всех членов уравнения.
Известно, что подобие бывает геометрическое, кинематическое и динамическое.
Геометрическое подобие выполняется, если геометрические размеры всех сходственных элементов модели и натурного объекта (например, профиля лопатки турбины или выпускного коллектора двигателя внутреннего сгорания) отличаются в одно и то же число раз и сходственные элементы расположены под одинаковыми углами к вектору скорости набегающего потока. Если любой размер модели отличается от соответствующего размера натурного объекта в Км раз, то Км – линейный масштаб моделирования.
Кинематическое подобие предполагает, что поля скоростей двух потоков одинаковы. В сходственных точках, координаты которых пропорциональны (отличаются в Км раз), компоненты вектора скорости отличаются в Кс раз, где Кс – кинематический масштаб моделирования. При исследовании коэффициентов сопротивления тел (см. главу 7) показано, что в некоторых случаях коэффициент сопротивления не зависит от скорости потока (от числа Рейнольдса), т.е. исследования проводятся в области автомодельности потока. Тогда кинематическое подобие удовлетворяется, даже если скорости двух потоков отличаются.
Динамическое подобие предполагает, что потоки описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями движения и имеют подобные граничные условия. При этом значения сил, приложенных к модели и натурному объекту, отличаются в КR раз, где КR – динамический масштаб моделирования.
Подобными являются течения жидкости и газа, в которых одновременно выполняются условия геометрического, кинематического и динамического подобия. Если записать уравнения Навье-Стокса в безразмерном виде, то для двух подобных потоков эти уравнения будут одинаковыми.
Рассмотрение условий, при которых наблюдается тождественность уравнений движения двух потоков, приводит к определению критериев подобия.
Некоторые критерии подобия рассмотрены в предыдущих главах. Так, в главе 2 введены критерий Маха М (отношение скорости потока с к скорости звука а)
и критерий Рейнольдса Re
где с – скорость потока;
l – характерный размер объекта (например, диаметр трубы);
ν – кинематическая вязкость жидкости (газа).
Эти критерии являются наиболее значимыми и должны всегда соблюдаться при моделировании потоков. Однако существуют и другие критерии подобия.
Критерий Прандтля Pr – используется при моделировании потоков газа, к которым подводится теплота
где Cp– теплоемкость газа при постоянном давлении;
λ – коэффициент теплопроводности;
μ –вязкость жидкости (газа).
Если вязкость газа не изменяется или не учитывается, то критерий Прандтля – это отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к коэффициенту теплопроводности, т.е. для идеального газа критерий Прандтля является физической константой, не зависящей от состояния газа.
Критерий Струхаля Sh – условие подобия неустановившихся (в том числе периодических) процессов
где с – скорость потока;
l – характерный размер объекта (например, диаметр трубы);
n = 1/t – частота периодического процесса.
Критерий Эйлера Eu выражает связь между статическим давлением и скоростным напором в сходственных точках подобных потоков
Критериев существует достаточно много: Пекле, Архимеда, Грасгофа, Фурье, Нуссельта, Вебера, Фруда и др. Полное подобие требует одинаковости всех критериев подобия, но в ряде случаев не все критерии подобия могут быть удовлетворены одновременно. На практике обычно соблюдаются только те критерии подобия, которые наиболее значимы при решении конкретной задачи. Так, при условии, что поток интенсивно обменивается теплотой с окружающими телами, необходимо обеспечение критериев Прандтля и Нуссельта, а при неустановившемся движении должен быть обеспечен критерий Струхаля. Критерии Рейнольдса и Маха должны обеспечиваться всегда.