5.6. Скачки уплотнения

Пусть вдоль стенки ВА движется равномерный сверхзвуковой поток газа (рис. 5.5), который за точкой А попадает в об­ласть с повышенным давлением (P₂ > P₁). При этом поток откло­няется от направления стенки ВА, поворачиваясь на некоторый угол δ относительно точки А. Слева от точки А параметры потока будут иметь следующие значения: скорость с₁, давление Р₁ и температура Т₁. Справа от точки А давление P₂ > P₁. В точке А возникает волна сжатия АК, располож енная под углом β к направлению невозмущенного потока. При перехо­де через волну АК газ сжимается и поток отклоняется на угол δ вверх oт направления невозмущенного потока ВА. С увеличением Р₂ сжатие газа в волне АК и угол отклонения δ увеличи­ваются. Волна АК называется плоским косым скачком уплотнения (или плоской ударной волной). При переходе через такую волну поток испытывает скачкообразные из­менения давления, скорости и температуры. Положение скач­ка определяется углом β между плоскостью скачка и первона­чальным направлением потока.

Плоский косой скачок уплотнения образуется, например, при обтекании стенки, повернутой в точке А на некоторый конечный угол δ навстречу потоку (вверх). Благодаря повороту стенки сечение струйки су­живается, что в сверхзвуковом потоке приводит к повышению дав­ления P₂ > P₁.

При переходе потока через плоский косой скачок уплотнения непрерывный переход от параметров невозмущенного потока к параметрам потока за скачком физически невозможен.

Скачки могут возникать не только в адиабатиче­ских течениях, но и тогда, когда на малой длине потока происходит интенсивный под­вод (или отвод) энергии, например теплоты. При этом образуются скачки, называемые тепловыми. К числу тепловых скачков относятся волны детонации в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания.

5.7. Уравнения косого скачка

Предположим, что в точке В сверхзвукового потока газа возник косой скачок уп­лотнения ВК (рис. 5.6). Параметры потока газа до скачка обозначены индексом 1, а за скачком – индексом 2. Рассмотрим движение потока газа вдоль линии тока, пересекающей плоскость скачка в точке В. При переходе через косой скачок линия тока деформируется, отклоняясь на угол δ. Скорость до и после косого скачка можно представить нормальными (с_n1 и с_n2) и касательными (с_t1 и с_t2) составляющими к плоскости скачка, что позволяет построить треугольники скоростей до и после скачка. Очевидно, что

и

У становим связь между параметрами потока до и после скачка и определим потери, возникающие при переходе через скачок.

Уравнение неразрывности для двух сечений трубки тока до и после скачка

Уравнение изменения количества движения в проекции на нормаль к плоскости косого скачка

Уравнение изменения количества движения в проекции на плоскость косого скачка

так как давление вдоль всех поверхностей, параллельных поверх­ности скачка, остается постоянным. Следовательно,

т.е. касательные составляющие скоростей до и пос­ле плоского косого скачка уплотнения одинаковы.

Закон сохранения энергии (уравнение Бернулли)

или

На основании совместного решения уравнений основных законов сохранения определяется связь между скоростями потока до и после скачка:

Полученная формула устанавливает связь между нормальными составляющими скоростей при переходе через косой скачок и является исходной для получения зависимостей между другими параметрами потока до и после скачка.

Из треугольников скоростей на скачке (см. рис. 5.6) следует, что

Тогда связь между термодинамическими параметрами на скачке может быть определена по формулам

(5.6)

(5.7)

. (5.8)

(5.9)

Полученные формулы выражают изменения параметров потока газа при переходе через косой скачок уплотнения в зависимости от показателя адиабаты для газа k, скорости потока до скачка М₁ и угла косого скачка β. Эти формулы показывают основные физические свойства косого скачка:

– нормальная составляющая скорости до скачка больше скорости звука;

– нормальная составляющая скорости за скачком меньше скорости звука;

– угол косого скачка больше угла характеристики;

– если угол косого скачка равен углу характеристики, то косой скачок вырождается в слабую (звуковую) волну уплотнения (слабый скачок) и угол отклонения потока стремится к нулю;

– связь между углами β и δ устанавливается по уравнению

.

из которого следует, что δ = 0 при β = α₁ и β = 90°. Таким образом, кривая δ = δ(β) имеет максимум. Продифференцировав уравнение и приравняв производную к нулю, получим

г де β_М – угол косого скачка, соответствующий максимальному углу отклонения потока δ_М. Отсюда следует, что при М₁ = 1 угол β_М = 90°, а при М₁ = ∞ угол Для промежу­точных значений угол β_М с увеличением М₁ вначале уменьшается, а за­тем увеличивается.

На рис. 5.7 представлены графики δ = =δ(β) при различных значени­ях λ₁ для k = =1,3.

Из уравнения (5.9) следует, что с увеличением угла β (при постоянном значении M₁) М₂ уменьшает­ся, перепад скорости на скачке увеличивается. При некотором значении β = β_* скорость за скачком становится звуковой (М₂ = 1). При дальнейшем увеличении β скорость потока газа за скачком будет дозвуковой. Величина β_* определяется по уравнению (5.9) при М₂ = 1

Значению β_* соответствует максимальный угол отклонения потока δ_М

.

Так как углы β_* и β_М приблизительно одинаковы, то можно считать, что максимальный угол отклонения достигается при звуковой скорости за скачком М₂ ≈ 1.