5.3. Теорема н.Е. Жуковского

Теория подъемной силы крыла основывается на теореме Н.Е. Жуковского. Жуковский в 1906 г. установил связь между этой силой и интенсивностью циркуляционного течения, возникающего при обтекании крыла.

Формула Жуковского связывает значение подъемной силы Р_у, нормальной к вектору скоро­сти невозмущенного набегающего потока с_∞ (имеющего плотность ρ_∞), с интенсивностью циркуляционного течения Г

Теорема Жуковского. При обтекании тела плоскопараллельным безграничным потоком идеальной сжимаемой жидкости на тело единичного размаха действует сила, равная произведению цирку­ляции скорости Г на скорость с_∞ и на плотность ρ_∞ невозмущенно­го потока. Направление этой силы нормально к направлению вектора ско­рости невозмущенного потока с_∞. При этом, если циркуляция скорости положительна, то и Р_у будет положительной. Подъемную силу Р_у называют силой Жуковского.

5.4. Плоские сверхзвуковые течения газа. Характеристики

Р ассмотрим устано­вившееся движение потока газа с постоянной скоростью вдоль стенки ВА (рис. 5.3). В точке А возникает возмущение потока, вызванное поворотом стенки на малый угол δ. Вследствие малости угла возмущение в точке А, выражающе­еся в изменении параметров потока, рассматривается как слабое.

Рис. 5.3. Схемы обтекания бесконечно малых углов

сверхзвуковым потоком (характеристики)

В сверхзвуковом потоке возмущение может распространяться только в направлении тече­ния. Возмущение, возникающее в точке А, сносится по потоку, при­чем линия А–m служит границей между двумя областями потока: слева от линии A–m расположена невозму­щенная область течения, а справа от этой линии поток возмущен.

Линию раздела A–m называют границей слабых или зву­ковых возмущений, слабой волной, характеристикой или линией Маха.

Слабые возмущения потока (слабые волны) распространяются со скоростью звука. На рис. 5.3 представлены два различных случая: отклонение стенки АD вниз на угол +δ (рис. 5.3, а) и вверх (рис. 5.3, в). В случае «а» происходит расширение потока, уменьшение давления на величину dp и уменьшение скорости на величину dc. В случае «в» происходит уплотнение потока: давление увеличивается на величину dp, а скорость уменьшается на величину dc. Следовательно, в первом случае характеристика является слабой волной разреже­ния, а во втором – слабой волной сжатия.

У гол α наклона характеристики к направлению вектора скоро­сти для случая обтекания безграничным сверхзвуковым пото­ком остроконечного тонкого тела с малым углом раствора определяется по формуле

Отсюда следует, что при изменении скорости изменяются углы характеристик: в ускоряющемся сверхзвуковом потоке углы характеристик в направлении течения уменьшаются, а в замедляющемся потоке – увеличиваются, т.е. при изменении скоростей в поперечном направлении к потоку характеристики приобретают криволинейную форму.

5.5. Стационарные волны разрежения

Сверхзвуковой поток испытывает конечные возмущения. Пусть вдоль стенки ВА движется равномерный сверхзвуковой поток газа (рис. 5.4), который за точкой А попадает в об­ласть с пониженным давлением (P₂ < P₁). При этом поток откло­няется от направления стенки ВА, поворачиваясь на некоторый угол δ относительно точки А. Возмущение, создаваемое точкой А, распространяется в сверхзву­ковом течении вдоль характеристик А–m₁ и А–m₂, образую­щих стационарную центрированную волну разрежения m₁–А–m₂. Воз­мущение начинается на характеристике А–m₁, угол наклона которой к вектору скорости невозмущенного течения α₁ = arcsin (1/М₁), и заканчива­ется на линии А–m₂, угол которой α₂ = arcsin (1/М₂).

М ежду характеристиками А–m₁ и А–m₂ происходит расширение газа от Р₁ до Р₂. При пересечении волны разрежения линии тока искривляются, так как при обтекании точки А поток расширяется, скорость потока увеличивается, а температура и плотность уменьшается. Промежуточным точкам линии тока в пределах волны разрежения отвечают промежуточные характеристики, вдоль каждой из которых параметры течения остаются неизменными. Углы между характеристиками и касательными к линиям тока в направлении течения уменьшаются: a₁ > a_i > a₂. Линии тока при этом расхо­дятся, расстояние между ними увеличивается (f₂ > f₁, рис. 5.4). Отклонение потока в волне разрежения происходит таким образом, что составляющая скорости, нормальная к характеристике, равна скорости звука в данной точке. Линии тока в пределах волны разрежения представляют собой систему подобных кривых; расстояние между соседними линиями тока увеличивается в направлении течения.

Отметим, что при обтекании угловой точки А поток остается потенциальным и безвихревым; энтропия потока, пересекающего волну разрежения, сохраняется неизменной.