5.2. Функция тока и циркуляция скорости

Изучение установившихся плоских течений газа можно упростить введением другой функ­ции координат – функции тока ψ. Третье уравнение системы (5.1) выполняется, если

Чтобы функция тока и потенциал скорости имели оди­наковую размерность, коэффициент при производных целесообразно привести к безразмерному виду. Тогда для потенциального по­тока уравнения для u и v запишутся в виде (при )

(5.4)

При движении несжимаемой жидкости в уравнениях (5.4) функция тока ψ = ψ_н, а значение относительной плотности равна единице. При этом уравнения (5.3) принимают вид

Для безвихревого потока функция ψ_н удовлетворяет уравнению Лапласа

(5.5)

.

Физическое значение функции тока ψ выявляется при определе­нии расхода газа через элемен­тарный незамкнутый контур в плоском потоке. Функция тока численно равна объемному расходу газа через элементарный контур. Функция тока со­храняет постоянное значение вдоль линий тока плоского тече­ния. Область потока, ограниченная двумя линиями тока ψ_L = const и ψ_L1 = const, является трубкой тока. Следовательно, разность зна­чений функций тока ψ_L-ψ_L1 равна объемному расходу жидкости через сечение трубки тока, ограниченной линиями то­ка ψ_L и ψ_L1.

Линии тока (линии ψ_н = const) и изопотенцильные линии (линии Ф_н = const) взаимно ортогональны, т.е. пересекаются под прямым углом.

Уравнение потенциала скоростей плоского потока несжимаемой жидкости (5.5) позволяет использовать метод на­ложения потенциальных потоков. Из теории линейных дифференци­альных уравнений известно, что если функции Ф_н1 и Ф_н2 яв­ляются решениями такого уравнения, то и сумма Ф_н = Ф_н1 + Ф_н2 является также решением этого уравнения. Отсюда следу­ет, что, складывая потенциалы скорости Ф или функции тока ψ про­стейших потоков, можно получить характеристики более сложного движения. При этом потенциалы скоростей и функции тока склады­ваются алгебраически, а векторы с коростей – геометрически (рис. 5.1). Метод наложения потенциальных потоков используется для расчета сложных течений сжимаемой жидкости.

Ме­тод наложения потенциальных потоков позволяет ввести понятие циркуляции скорости. При обтекании крыла плоскопараллельным потоком линии тока у крыла искрив­лены, так как крыло возмущает поток. Течение у крыла можно представить как сумму плоскопараллельного потока и потока, в котором частицы движутся по замкнутым траекториям и которой называется циркуляционным (рис. 5.2). Отличие циркуляционного течения от вихревого заключается в том, что при циркуляционном движении частицы совершают враще­ние вокруг оси, не проходящей через саму частицу, т.е. ω = 0.

И нтенсивность циркуляционного течения характеризуется циркуляцией ско­рости, которая определяется по уравнению

где – проекция вектора скорости на направление элемента контура l. В общем случае произвольно выбранный кон­тур может не совпадать с линией тока циркуляционного течения. При вычислении циркуляции скорости положительным направлением обхода считают такое направление, при котором заключенная внутри контура область по­тока остается справа, как, например, на рис. 5.2.