4.7. Примеры решения задач

Пример 1. Определить расход Q и скорость с в трубопроводе, имеющем диаметр d = 0,21 м и длину l = 130 м, если в напорном баке отметка горизонта воды Н₁ = 14 м и в конечном пункте отметка пьезометрической линии Н₂ = 6,5 м. Расчет выполнить:

а) для труб металлических, нормальных, гладких;

б) для труб загрязненных, с коэффициентом шероховатости n = =0,015.

Решение

а) Трубы металлические, нормальные.

Расход воды в трубопроводе определяется по формуле

, где k – расходная характеристика для нормального трубопровода; k = 396,9 л/с = 0,3969 м³/с [1, табл.V].

Н = Н₁ – Н₂ = 14 - 6,5 = 7,5 м – гидравлический напор.

Расход воды = 0,0953 м³/с.

Скорость воды в трубопроводе

с = Q/, где  – площадь внутреннего поперечного сечения трубопровода.

Для круглых труб

Скорость воды

Полученная скорость с больше критической (при которой наступает квадратичная область сопротивления) [1, табл. VII].

б) Трубы загрязненные, n = 0,015.

Для труб с коэффициентом шероховатости n = 0,015 расходных характеристик в таблицах нет, поэтому для определения расхода используется основное уравнение равномерного движения [1]

где – гидравлический радиус,

 = d – смоченный периметр для круглых труб;

I = H/l = (H₁ – H₂)/l = 0,0577 – гидравлический уклон.

Коэффициент Шези С, зависящий от гидравлического радиуса R и шероховатости внутренней поверхности трубопровода n, в квадратичной области сопротивления может быть рассчитан по формуле Маннинга [1]

Расход воды в трубопроводе

Скорость потока

Ответ. При нормальных трубах расход воды через трубопровод составляет Q = 0,0953 м³/с, а при загрязненных трубах Q = 0,077 м³/с. Скорость потока при нормальных трубах с = 2,75 м/с, а при загрязненных трубах с = 2,225 м/с.

Пример 2. Вентиляционная труба диаметром d = 0,1 м имеет длину l = 100 м. Определить давление ΔР, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, равен Q = =0,078 м³/с. Давление на выходе р = р_атм = 101 кПа. Местных сопротивлений по пути не имеется. Вязкость воздуха ν = 15,7·10^-6 м²/с.

Решение.

Вентилятор должен развивать давление, равное потерям давления на трение.

Площадь трубы

Скорость воздуха в трубе

Число Рейнольдса для потока в трубе при вязкости воздуха ν = =15,7·10^-6 м²/с

Относительная шероховатость принимается по [2, табл. 3.1]

k_э = 0,2 мм;

k_э/d = 0,002.

Коэффициент гидравлического сопротивления по формуле А.Д. Альтшуля [2, с. 58]

Плотность воздуха

Потери давления на трение по длине вентиляционной трубы

Ответ. Давление вентилятора ΔР = 1,549 кПа.

Пример 3. Определить потери давления на трение ΔР в стальной трубе круглого сечения, квадратного сечения и треугольного сечения (равносторонний треугольник) при равных длине, площади живого сечения труб и скоростях движения воды. Длина трубы l = 100 м, площадь живого сечения ω = 0,03 м², скорость движения воды с = 10 м/с, температура воды 20 ºС.

Решение

Определим эквивалентные диаметры для всех труб.

Для трубы круглого сечения

Для трубы квадратного сечения

где а – сторона квадрата.

Для трубы треугольного сечения

где в – сторона равностороннего треугольника.

Определим величины d, a, b.

Для трубы круглого сечения поэтому

Для трубы квадратного сечения 0,174 м.

Для трубы треугольного сечения

0,264 м.

Следовательно, для круглой трубы

= 0,196 м.

Для квадратной трубы

0,174 м;

Для трубы треугольного сечения

0,152 м.

Для определения коэффициентов гидравлического трения определим числа Рейнольдса и относительную шероховатость при эквивалентной шероховатости [2, табл. 3.1] k_э = 0,05 мм = 5·10^-5 м и вязкости воды ν = 1,01·10^-6 м²/с [2, прил. 2].

Для круглой трубы

25,4·10^-5_.

Для квадратной трубы

28,7·10^-5.

Для трубы треугольного сечения

33,0·10^-5.

Все три трубы работают в квадратичной области сопротивления [2, рис. 3.4], в которой безразмерный коэффициент гидравлического трения ζ определяется по формуле [2, с. 58]

.

Для круглой трубы

Для квадратной трубы

Для трубы треугольного сечения

Потери давления на трение в трубах при плотности воды ρ = =998,2 кг/м³ [2, прил. I] определяем по формуле [2, с. 55]

.

Подставляя в эту формулу соответствующие величины, получим

– для круглой трубы ΔР = 358 кПа;

– для квадратной трубы ΔР = 416 кПа;

– для трубы треугольного сечения ΔР = 493 кПа.

Таким образом, в трубе квадратного сечения потери давления в 1,16 раза больше, а в трубе треугольного сечения – в 1,38 раза больше, чем в круглой трубе при прочих равных условиях.

Ответ. Для круглой трубы ΔР = 358 кПа, для квадратной трубы ΔР = 416 кПа, для трубы треугольного сечения ΔР = 493 кПа.

Пример 4. Самолет летит на высоте при температуре воздуха

Т = –50 °С со скоростью с = 1500 км/ч. Чему равна температура торможения Т^* на носу самолета?

Решение. Температура торможения определяется по формуле

где – число Маха; k = 1,4 – показатель адиабаты для воздуха.

Скорость звука рассчитывается по формуле

Число Маха

Температура торможения

Ответ. Температура торможения на носу самолета составляет Т^* = = 309 К (т.е. 36 °С).

Пример 5. Определить максимальную скорость с_м при расширении воздуха, имеющего начальную температуру Т^* = 300 К. Показатель адиабаты для воздуха k = 1,4; газовая постоянная R = 287,3 Дж/(кг∙К). Определить критическую скорость а_кр при тех же условиях.

Решение

Критическая скорость определяется по формуле

Максимальная скорость может быть определена по формуле

Тогда

Ответ.

Максимальная скорость с_м = 776 м/с; критическая скорость а_кр = =317 м/с.