4.4. Приведенный расход газа

Полученные закономерности, определяющие из­менения параметров течения в канале, следуют из уравнения постоянства расхода жидкости или газа при одномерном течении. Удель­ный секундный массовый расход газа

Максимальное значение удельного расхода соответствует критическому значению скорости λ = 1.

Приведенным расходом называют отношение

Следовательно, приведенный расход выражает относительный удельный расход массы газа и представляет собой газодинамическую функцию, зависящую только от k и λ. Значение этой функции может быть найдено из условия постоянства расхода через некоторое произвольное сечение канала F и его критическое сечение F_*

Отсюда

Приведенный расход газа определяет соотношение между критическим и произвольным сечениями канала.

4.5. Движение вязкого газа в трубах при наличии трения

При изучении движения газа в трубах и каналах различают два физически различных участка течения: начальный (или вход­ной) и основной участки. Начальный участок характерен непре­рывным изменением профиля скорости вдоль потока. Вначале ос­новная масса втекающего газа не испытывает существенного влия­ния вязкости. На стенках трубы образуется пограничный слой, толщина которого увеличивается, а диаметр ядра потока уменьшается. По мере увеличения толщины пограничного слоя скорости в ядре потока увеличиваются и достигают максимально­го значения в том сечении трубы, где ядро исчезает. Следовательно, начальный участок характеризуется переменными от­рицательными продольными градиентами давления. Длина начального участка, а также коэффициент сопротивле­ния трения зависят от режима течения в пограничном слое. Наи­более протяженным будет начальный участок при ламинарном слое, толщина которого увеличивается менее интенсивно, чем турбу­лентного. Длина на­чального участка зависит также от чисел М и Re на входе в трубу.

Для основного участка трубы диф­ференциальное уравнение распределения скоростей вдоль трубы переменного сечения с учетом вязкости записывается в виде

(4.25)

Здесь , где D – диаметр трубы, х – координата рассматриваемого сечения (для неци­линдрических труб D характерный геометрический параметр, например гидравлический радиус сечения канала); ζ – коэффициент сопротивления трения, зависящий от чисел М и Re.

Это уравнение справедливо, если отсутствует энергетический обмен потока с внешней средой.

Изменение давления потока вдоль трубы переменного сечения описывается уравнением

(4.26)

Из уравнений (4.25) и (4.26) следует, что изменение параметров течения в трубе переменного сечения происходит под воздействием двух факторов: изменения сечения трубы и сил трения, причем влияние трения всегда является односторонним. Так, при дозвуковых скоростях (λ < 1) в суживающейся трубе (dF < 0) трение способ­ствует ускорению течения (dλ > 0). При сверхзвуковых скоростях в суживающейся трубе (dF < 0) трение приводит к тому, что поток тормозится. В дозвуковом и сверхзвуковом потоках трение приводит с качественной стороны к такому же изменению скорости течения, как и уменьшение сечения трубы.

При наличии трения сечение, соответствующее максимальной скорости при λ < 1 и минимальной скорости при λ > 1, не совпадает с ми­нимальным сечением, а смещается в расширяющуюся часть трубы. Соответственно критическим условиям (λ= 1) также отвечает се­чение в расширяющейся части трубы. Следовательно, минимальное и критическое сечения трубы при наличии трения не совпадают.

Для трубы постоянного сечения dF = 0, поэтому

(4.27)

Из ана­лиза уравнения (4.27) следует, что критическая скорость (скорость, равная скорости звука) потока может возникнуть в трубе постоянного сечения только в выходном сечении. Действительно, согласно уравнению (4.27), если λ < 1, то dλ > 0 и поток в трубе ускоряется, а при λ > 1 соответственно dλ < 0 и поток замедляется. Случай λ = 1 в промежуточном сечении трубы противоречит уравнению (4.27) и физически невозможен, так как течение с постоянной скоростью при наличии трения при F = const невозможно.

Если коэффициент сопротивления является величиной по­стоянной, то уравнение (4.27) можно проинтегрировать:

(4.28)

где λ₁ – безразмерная скорость в начальном сечении трубы; λ –безразмерная скорость в некотором сечении на расстоянии от начального.

Введем безразмерную координату, называемую приве­денной длиной трубы,

Тогда уравнение (4.28) можно записать в виде

Мак­симальное значение приведенной длины трубы выражается фор­мулой

Следовательно, в цилиндрической трубе при определенной скорости на входе λ₁ и соответствующей длине (при наличии трения) на выходе достигается критическая скорость λ = 1.

При дозвуковой скорости на входе в цилиндрическую трубу длиной l, характеризуемую коэффициентом сопротивления ζ, при установившемся движении максимальный расход газа обеспечивается, если на выходе из трубы достигается критическая скорость λ = 1. Для увеличения расхода газа че­рез цилиндрическую трубу определенных размеров следует увеличивать давление полного торможения на входе в трубу или уменьшать температуру торможе­ния.