4.3. Движение одномерного потока при различных внешних воздействиях

На поток газа внешние силы могут производить различные воздействия: геометрическое, механическое, химическое, расходное, тепловое и др.

Геометрическое воздействие предполагает энергетически изолированное движение газа по трубе переменного сечения F. Такое движение описывается уравнением

(4.19)

Заменив здесь М² на λ², определим

(4.20)

Дифференциальное уравнение (4.19) позволяют ус­тановить распределение скоростей вдоль оси потока, подвергающегося только геометрическому воздействию твердых границ.

Из уравнения (4.20) следует, что dλ = 0 в одном из следующих случаев:

а) λ = 0; б) в) dF=0.

Случай «а» соответствует неподвижному газу. Случай «б» возникает при максимальной скорости течения, когда дальнейшее увеличение ско­рости невозможно. Случай «в» приводит к dλ = 0 только при λ ≠ 1. В этом случае в рассматриваемой точке площадь сечения трубки (функция F) имеет максимум или минимум.

Рассмотрим движение газа в канале пере­менного сечения. Пусть функция F имеет максимум (рис. 4.1). Допустим, что слева от максимального сечения ско­рость λ < 1 (кривая 2, рис. 4.1). Тогда из (4.20) с ледует, что, dλ < 0, так как dF > 0 т.е. скорость газа в трубке уменьшается. Справа от максимального сечения dF < 0 и dλ > 0 – скорость течения возрастает. Аналогично при λ > 1 (кривая 1 на рис. 4.1) сле­ва от максимального сечения dλ > 0 и справа dλ < 0. Таким образом, в расширяющемся сечении канала дозвуковой поток вначале тормозится, а затем ускоряется; с

Рис. 4.1. Движение газа в трубке тока, имеющей максимум

верхзвуковой поток вначале ускоряется, а затем тормозится. И в том, и в другом случае скорость потока не «переходит» через скорость звука: дозвуковой поток всегда остается дозвуковым, а сверхзвуковой – сверхзвуковым.

Е сли функция F имеет минимум, т.е. канал сначала сужается, а затем расширяется (рис. 4.2), то слева от минимального сечения при λ < 1 скорость потока будет увеличиваться, а справа от минимального сечения будет уменьшаться (кривая 2 на рис. 4.2). При сверхзвуковых скоростях, т.е. при λ > 1, скорость потока вначале уменьшается, а затем увеличивается (кривая 1 на рис. 4.2). Однако такая картина течения наблюдается не всегда. Возможен случай, когда скорость дозвукового потока в суживающейся части канала увеличится настолько, что в минимальном (критическом) сечении она станет равной местной скорости звука λ = 1 (рис. 4.3). В этом случае знак выражения (λ² – 1) изменится, поток, который вначале был дозвуковым, станет сверхзвуковым. Сверхзвуковой поток в расширяющемся канале продолжит ускоряться (см. формулу 4.20).

Аналогичная картина течения наблюдается и для сверхзвукового потока, который в суживающейся части канала тормозится. Уменьшение скорости может привести к ситуации, когда в м инимальном сечении поток станет звуковым λ = 1. Тогда дальнейшее движение газа в расширяющейся части канала приведет к еще большему торможению потока (рис. 4.4).

Таким образом, если канал имеет местное сужение, то в этом сужении возможен переход скорости потока газа через скорость звука. Устройство, с помощью которого дозвуковой поток может быть ускорен до сверхзвукового, называется геометрическим соплом. Условием работы геометрического сопла является наличие в трубке переменного сечения местного сужения, в котором поток достигает скорости звука. Наиболее известным геометрическим соплом является сопло Лаваля (рис. 4.5).

В расширяющейся части канала скорость дозвукового течения уменьшается, а в суживающейся – увеличивается. Сверхзву­ковой поток в расширяющейся части ускоряется, а в суживающей­ся – тормозится. Из этого следует вывод: характер изменения скорости вдоль канала принципиально различен для дозвуковых и сверхзвуковых течений. Одно и то же воздействие на дозвуковой и сверхзвуковой поток приводит к прямо противоположному результату. Это положение формулирует закон обращения воздействия. В канале, имеющем максимум сечения, невозможен переход из области дозвуковых в обл асть сверхзвуковых скоростей и наоборот. В канале, имеющем минимум сечения, скорость как дозвукового, так и сверхзвукового течения может получить значение λ = 1 в минимальном сечении. Если скорость течения в минимальном сечении будет λ = 1 и dλ ≠ 1, то переход через критическую ско­рость становится возможным. Следовательно, в минимальном сечении (в точке, где dF = 0) при λ = 1 до­звуковой поток становится сверхзвуковым, а сверхзвуко­вой – дозвуковым.

Таким образом, в суживающемся канале при дозвуковом тече­нии температура, давление и плотность уменьшаются, а при сверх­звуковом – увеличиваются. В расширяющемся канале картина будет об­ратной. Параметры, отвечающие сечению, в котором λ = 1, называются критическими параметрами. Критические параметры зависят от физических свойств газа (показатель адиабаты k) и параметров полного торможения.

Тепловое воздействие на движущийся поток газов наблюдается в тепловых машинах – двигателях внутреннего сгорания, турбинах. Подвод или отвод теплоты изменяют скорость движения газа в трубе постоянного сечения.

Движение при тепловом воздействии описывается уравнением

(4.21)

Для дозвуковых течений (1 – М ²) > 1, знаки dQ и dс совпадают – подвод теплоты увеличивает скорость течения. Для сверхзвуковых течений знаки dQ и dс противоположны – подвод теплоты тормозит поток.

Таким образом, может быть сконструировано тепловое сопло – аппарат, с помощью которого дозвуковой поток преобразуется в сверхзвуковой (рис. 4.6). Тепловое сопло представляет собой трубу постоянного сечения, к поверхности которой от внешнего источника подводится и отводится теплота. Подвод теплоты ускоряет дозвуковой поток, и если в критическом сечении будет достигнута скорость звука, то в направлении дальнейшего движения потока следует трубу охлаждать. Условием работы теплового сопла является то, что в критическом сечении теплообмен движущегося газа с внешней средой должен отсутствовать.

М еханическое воздействие на поток газов описывается зависимостью

(4.22)

В уравнении (4.22) принято, что если газ совершает работу L против внешних сил, то dL > 1, а если работа совершается над газом, то dL < 1.

Анализ уравнения 4.22 показывает, что может быть разработано механическое сопло. Газ вначале должен совершать работу (для чего в канал постоянного сечения устанавливается турбина), а затем работа должна совершаться над газом (для чего в канал после критического сечения необходимо установить компрессор).

В поле гравитационной силы dL = dh, где h – высота, отсчитываемая от начального уровня. Уравнение движения газа в поле гравитационной силы

(4.23)

Из этого уравнения следует, что дозвуковой поток газа ускоряется в поле гравитационной силы по мере удаления от поверхности исходного уровня. На этом принципе, например, основана работа печной трубы – газ удаляется от поверхности исходного уровня и при этом ускоряется.

В поле центробежной силы движения газа описывается уравнением

(4.24)

где r – радиус движения частицы газа. Таким образом, скорость движения газа при М < 1 возрастает при уменьшении радиуса, т.е. при приближении частицы к оси вращения.

На поток газа могут производиться и другие воздействия, например химическое (изменение числа молей движущегося газа) или расходное (подвод или отвод газа к движущемуся потоку).

Если на газ производится сразу несколько воздействий, то употребляется термин «комбинированное воздействие». При комбинированном воздействии движение газа описывается уравнением

где m – масса движущегося газа, N – число молей.